与えられた式 $\frac{1+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ を計算し、簡単化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ を計算し、簡単化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

$\frac{1+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $2+\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = \frac{5 + 3\sqrt{3}}{1} = 5 + 3\sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3}-1$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

次に、それぞれの分数の有理化の結果を用いて、元の式を計算します。

$\frac{1+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = (5 + 3\sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 5 + 3\sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 3 + 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3 + 4\sqrt{3}$