与えられた問題は以下の通りです。 1.5 次の方程式を解け。 (1) $3^{\frac{5}{2}} - (\sqrt{27})^x = 0$ (2) $\log_2(x-3) - \log_4(2x-6) = 1$ (3) $3^x = 2^{x+2}$ 1.7 $(0.7)^{100}$ を計算した結果、小数第何位に0でない数が初めて現れるか求めよ。ただし、$\log_{10} 7 = 0.8451$とする。 1.8 次の逆三角関数に関する方程式を解け。ただし、$x>0$とする。 (1) $\sin^{-1} x = \cos^{-1} (\frac{5}{13})$ (2) $\sin (\tan^{-1} (\frac{1}{\sqrt{x}})) = \cos (\sin^{-1} (\frac{1}{\sqrt{2x}}))$ この中から、1.5 (1),(2),(3), 1.7, 1.8 (1),(2) を解きます。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の通りです。

1.5 次の方程式を解け。

(1) $3^{\frac{5}{2}} - (\sqrt{27})^x = 0$

(2) $\log_2(x-3) - \log_4(2x-6) = 1$

(3) $3^x = 2^{x+2}$

1.7 $(0.7)^{100}$ を計算した結果、小数第何位に0でない数が初めて現れるか求めよ。ただし、$\log_{10} 7 = 0.8451$とする。

1.8 次の逆三角関数に関する方程式を解け。ただし、$x>0$とする。

(1) $\sin^{-1} x = \cos^{-1} (\frac{5}{13})$

(2) $\sin (\tan^{-1} (\frac{1}{\sqrt{x}})) = \cos (\sin^{-1} (\frac{1}{\sqrt{2x}}))$

この中から、1.5 (1),(2),(3), 1.7, 1.8 (1),(2) を解きます。

2. 解き方の手順

1.5 (1)

$3^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{27})^x$

$3^{\frac{5}{2}} = (3^{\frac{3}{2}})^x$

$3^{\frac{5}{2}} = 3^{\frac{3}{2}x}$

$\frac{5}{2} = \frac{3}{2}x$

$5 = 3x$

$x = \frac{5}{3}$

1.5 (2)

$\log_2(x-3) - \log_4(2x-6) = 1$

$\log_2(x-3) - \frac{\log_2(2x-6)}{\log_2 4} = 1$

$\log_2(x-3) - \frac{\log_2(2x-6)}{2} = 1$

$2\log_2(x-3) - \log_2(2x-6) = 2$

$\log_2(x-3)^2 - \log_2(2x-6) = 2$

$\log_2 \frac{(x-3)^2}{2x-6} = 2$

$\frac{(x-3)^2}{2x-6} = 2^2 = 4$

$\frac{(x-3)^2}{2(x-3)} = 4$

$\frac{x-3}{2} = 4$

$x-3 = 8$

$x = 11$

ここで、$x > 3$が必要なので、$x=11$は条件を満たす。

1.5 (3)

$3^x = 2^{x+2}$

両辺の対数をとると

$\log 3^x = \log 2^{x+2}$

$x\log 3 = (x+2)\log 2$

$x\log 3 = x\log 2 + 2\log 2$

$x(\log 3 - \log 2) = 2\log 2$

$x = \frac{2\log 2}{\log 3 - \log 2} = \frac{2\log 2}{\log \frac{3}{2}}$

1.7

$(0.7)^{100}$を計算した結果、小数第何位に0でない数が初めて現れるか。

$y = (0.7)^{100}$とおく。両辺の常用対数をとる。

$\log_{10} y = \log_{10} (0.7)^{100}$

$\log_{10} y = 100 \log_{10} 0.7$

$\log_{10} y = 100 \log_{10} \frac{7}{10}$

$\log_{10} y = 100 (\log_{10} 7 - \log_{10} 10)$

$\log_{10} y = 100 (0.8451 - 1)$

$\log_{10} y = 100 (-0.1549)$

$\log_{10} y = -15.49$

$\log_{10} y = -16 + 0.51$

$y = 10^{-16 + 0.51} = 10^{-16} \times 10^{0.51}$

$10^{0.51} > 1$ なので、小数第16位に初めて0でない数が現れる。

1.8 (1)

$\sin^{-1} x = \cos^{-1} (\frac{5}{13})$

$\sin (\sin^{-1} x) = \sin (\cos^{-1} (\frac{5}{13}))$

$x = \sin (\cos^{-1} (\frac{5}{13}))$

$\theta = \cos^{-1} (\frac{5}{13})$ とすると、$\cos \theta = \frac{5}{13}$.

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

$\sin \theta = \pm \frac{12}{13}$.

$0 < \theta < \pi$ であるから、$\sin \theta > 0$.

よって、$\sin \theta = \frac{12}{13}$

$x = \frac{12}{13}$

1.8 (2)

$\sin (\tan^{-1} (\frac{1}{\sqrt{x}})) = \cos (\sin^{-1} (\frac{1}{\sqrt{2x}}))$

$\theta = \tan^{-1} (\frac{1}{\sqrt{x}})$とすると、$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、

$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$(\frac{1}{\sqrt{x}})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{1}{x} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{1+x}{x} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{x}{x+1}$

$\cos \theta = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$

$\cos (\sin^{-1} (\frac{1}{\sqrt{2x}}))$を考える。

$\phi = \sin^{-1} (\frac{1}{\sqrt{2x}})$とすると、$\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

$\sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1$より、

$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi = 1 - (\frac{1}{\sqrt{2x}})^2 = 1 - \frac{1}{2x} = \frac{2x-1}{2x}$

$\cos \phi = \sqrt{\frac{2x-1}{2x}}$

$\sin (\tan^{-1} (\frac{1}{\sqrt{x}})) = \cos (\sin^{-1} (\frac{1}{\sqrt{2x}}))$より、

$\sin \theta = \cos \phi$

$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{x}} \sqrt{\frac{x}{x+1}} = \sqrt{\frac{1}{x+1}}$

$\sqrt{\frac{1}{x+1}} = \sqrt{\frac{2x-1}{2x}}$

$\frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{2x}$

$2x = (2x-1)(x+1) = 2x^2 + 2x - x - 1$

$2x = 2x^2 + x - 1$

$2x^2 - x - 1 = 0$

$(2x+1)(x-1) = 0$

$x = 1$または$x = -\frac{1}{2}$.

ただし、$x > 0$より、$x=1$.

3. 最終的な答え

1.5 (1) $x = \frac{5}{3}$

1.5 (2) $x = 11$

1.5 (3) $x = \frac{2\log 2}{\log \frac{3}{2}}$

1.7 小数第16位

1.8 (1) $x = \frac{12}{13}$

1.8 (2) $x = 1$