与えられた連立一次方程式(3)を、拡大係数行列の基本変形を用いて解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $x_1 - 2x_2 + 3x_4 = 2$ $x_1 - 2x_2 + x_3 + 2x_4 + x_5 = 2$ $2x_1 - 4x_2 + x_3 + 5x_4 + 2x_5 = 5$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式(3)を、拡大係数行列の基本変形を用いて解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$x_1 - 2x_2 + 3x_4 = 2$

$x_1 - 2x_2 + x_3 + 2x_4 + x_5 = 2$

$2x_1 - 4x_2 + x_3 + 5x_4 + 2x_5 = 5$

2. 解き方の手順

まず、連立一次方程式を拡大係数行列で表現します。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & -4 & 1 & 5 & 2 & 5 \end{bmatrix}$

次に、拡大係数行列を簡約化します。

(1) 2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -4 & 1 & 5 & 2 & 5 \end{bmatrix}$

(2) 3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

(3) 3行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

拡大係数行列に対応する連立一次方程式は次のようになります。

$x_1 - 2x_2 + 3x_4 = 2$

$x_3 - x_4 + x_5 = 0$

$x_5 = 1$

したがって、$x_5 = 1$です。

$x_3 - x_4 + 1 = 0$ より $x_3 = x_4 - 1$です。

$x_1 - 2x_2 + 3x_4 = 2$ より $x_1 = 2x_2 - 3x_4 + 2$です。

$x_2$と$x_4$を任意定数とすると、解は次のように表されます。

$x_1 = 2x_2 - 3x_4 + 2$

$x_2 = x_2$

$x_3 = x_4 - 1$

$x_4 = x_4$

$x_5 = 1$

3. 最終的な答え

$x_1 = 2x_2 - 3x_4 + 2$

$x_2 = x_2$

$x_3 = x_4 - 1$

$x_4 = x_4$

$x_5 = 1$

ここで、$x_2$と$x_4$は任意の実数です。