与えられた3つの式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\sqrt{15\sqrt{24}}$ (3) $81^{3/8}$ (5) $\log_2 12 - \log_4 18$

はい、承知いたしました。問題の画像を拝見しました。指示に従い、各問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた3つの式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\sqrt{15\sqrt{24}}$

(3) $81^{3/8}$

(5) $\log_2 12 - \log_4 18$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{15\sqrt{24}}$ の計算

まず、$\sqrt{24}$ を簡単にします。

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$

したがって、

$\sqrt{15\sqrt{24}} = \sqrt{15 \times 2\sqrt{6}} = \sqrt{30\sqrt{6}} = (30\sqrt{6})^{1/2}$

これは画像にある$2\sqrt{90}$や$6\sqrt{10}$とは異なります。

$\sqrt{15 \sqrt{24}} = (15 \cdot 24^{1/2})^{1/2} = (15 \cdot (4\cdot 6)^{1/2})^{1/2} = (15 \cdot 2\sqrt{6})^{1/2} = \sqrt{30\sqrt{6}} = (30 \cdot 6^{1/2})^{1/2} = (30^{1/2} \cdot 6^{1/4}) = (2\cdot 3 \cdot 5)^{1/2} \cdot (2\cdot 3)^{1/4} = 2^{1/2} \cdot 3^{1/2} \cdot 5^{1/2} \cdot 2^{1/4} \cdot 3^{1/4} = 2^{3/4} \cdot 3^{3/4} \cdot 5^{1/2} = (2^3 \cdot 3^3)^{1/4} \cdot 5^{1/2} = (8\cdot 27)^{1/4} \cdot 5^{1/2} = 216^{1/4} \cdot 5^{1/2} = \sqrt{5} \sqrt[4]{216}$

(3) $81^{3/8}$ の計算

$81 = 3^4$ であるから

$81^{3/8} = (3^4)^{3/8} = 3^{4 \times (3/8)} = 3^{3/2} = 3^{1+(1/2)} = 3^1 \times 3^{1/2} = 3\sqrt{3}$

(5) $\log_2 12 - \log_4 18$ の計算

まず、$\log_4 18$ を $\log_2$ に変換します。

$\log_4 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 4} = \frac{\log_2 18}{2} = \frac{1}{2} \log_2 18$

したがって、

$\log_2 12 - \log_4 18 = \log_2 12 - \frac{1}{2} \log_2 18 = \log_2 12 - \log_2 18^{1/2} = \log_2 12 - \log_2 \sqrt{18} = \log_2 \frac{12}{\sqrt{18}}$

$\frac{12}{\sqrt{18}} = \frac{12}{\sqrt{9 \times 2}} = \frac{12}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

$\log_2 (2\sqrt{2}) = \log_2 (2 \times 2^{1/2}) = \log_2 (2^{3/2}) = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{15\sqrt{24}} = \sqrt{30\sqrt{6}} = \sqrt{5} \sqrt[4]{216}$

(3) $81^{3/8} = 3\sqrt{3}$

(5) $\log_2 12 - \log_4 18 = \frac{3}{2}$