$a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ のとき、$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ のとき、$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の関係を利用する。

まず、$a > 0, b > 0$ より、相加平均・相乗平均の関係から、

$a+b \geq 2\sqrt{ab}$

同様に、$b > 0, c > 0$ より、

$b+c \geq 2\sqrt{bc}$

そして、$c > 0, a > 0$ より、

$c+a \geq 2\sqrt{ca}$

これら３つの不等式の両辺はすべて正であるから、辺々掛け合わせると、

$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{bc} \cdot 2\sqrt{ca}$

$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8\sqrt{a^2b^2c^2}$

$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$

したがって、$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$が成り立つことが証明できた。

等号が成り立つのは、それぞれの相加平均・相乗平均の関係において等号が成り立つときである。つまり、

$a = b$, $b = c$, $c = a$ が同時に成り立つとき。

これは $a=b=c$ を意味する。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$

等号が成り立つのは、$a = b = c$ のとき。