縦 $a$ m、横 $2a$ m の長方形の土地がある。この土地の縦を5m長くし、横を3m短くすると、面積はもとの土地よりどれだけ大きくなるか求めよ。また、面積が55 $m^2$ 大きくなるとすると、もとの土地の縦の長さは何mか求めよ。

1. 問題の内容

縦 $a$ m、横 $2a$ m の長方形の土地がある。この土地の縦を5m長くし、横を3m短くすると、面積はもとの土地よりどれだけ大きくなるか求めよ。また、面積が55 $m^2$ 大きくなるとすると、もとの土地の縦の長さは何mか求めよ。

2. 解き方の手順

(1) もとの土地の面積は、$a \times 2a = 2a^2$ $m^2$ である。

(2) 縦を5m長くし、横を3m短くした土地の面積は、$(a+5)(2a-3)$ で表される。

$(a+5)(2a-3) = 2a^2 - 3a + 10a - 15 = 2a^2 + 7a - 15$ $m^2$

(3) 面積の差を計算する。

$(2a^2 + 7a - 15) - 2a^2 = 7a - 15$ $m^2$

したがって、面積は $(7a - 15)$ $m^2$ 大きくなる。

(4) 面積が55 $m^2$ 大きくなるときの $a$ を求める。

$7a - 15 = 55$

$7a = 55 + 15$

$7a = 70$

$a = 10$

(5) もとの土地の縦の長さを求める。

$a = 10$ m

3. 最終的な答え

面積は $(7a-15)$ $m^2$ 大きくなり、$a = 10$ m のとき、もとの土地の縦の長さは10 m である。

面積は $(7a-15)$ $m^2$ 大きくなり、もとの土地の縦の長さは 10 m。