$x + 2y + 12 = 0$ のとき、$xy$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$x + 2y + 12 = 0$ のとき、$xy$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件式 $x + 2y + 12 = 0$ を $x$ について解きます。

$x = -2y - 12$

次に、$xy$ を $y$ の関数として表します。

$xy = (-2y - 12)y = -2y^2 - 12y$

$f(y) = -2y^2 - 12y$ とおきます。$f(y)$ を平方完成して最大値を求めます。

$f(y) = -2(y^2 + 6y) = -2(y^2 + 6y + 9 - 9) = -2((y+3)^2 - 9) = -2(y+3)^2 + 18$

$f(y)$ は $y = -3$ のとき最大値 $18$ をとります。

このとき、$x = -2y - 12 = -2(-3) - 12 = 6 - 12 = -6$ となります。

したがって、$x = -6$ かつ $y = -3$ のとき、$xy$ は最大値 $18$ をとります。

3. 最終的な答え

$18$