$\alpha$ の動径が第1象限にあり、$\beta$ の動径が第2象限にある。$\sin \alpha = \frac{3}{5}$、$\cos \beta = -\frac{5}{13}$ のとき、$\sin(\alpha + \beta)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha$ の動径が第1象限にあり、$\beta$ の動径が第2象限にある。$\sin \alpha = \frac{3}{5}$、$\cos \beta = -\frac{5}{13}$ のとき、$\sin(\alpha + \beta)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ と $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ を利用して、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ を求める。

$\alpha$ は第1象限にあるので、$\cos \alpha > 0$。

$\beta$ は第2象限にあるので、$\sin \beta > 0$。

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - (-\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

次に、$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ を利用する。

$\sin(\alpha + \beta) = (\frac{3}{5})(-\frac{5}{13}) + (\frac{4}{5})(\frac{12}{13}) = -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{33}{65}$