次の連立方程式を解いてください。 $\begin{cases} \frac{1}{5}x + \frac{1}{2}y = \frac{2}{5} \\ \frac{1}{10}x + \frac{1}{3}y = \frac{1}{2} \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立方程式を解いてください。

$\begin{cases}

\frac{1}{5}x + \frac{1}{2}y = \frac{2}{5} \\

\frac{1}{10}x + \frac{1}{3}y = \frac{1}{2}

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を扱いやすい形にするために、各方程式に適切な数を掛けて分母を払います。

第一の式に10を掛けると、

$10 (\frac{1}{5}x + \frac{1}{2}y) = 10 (\frac{2}{5})$

$2x + 5y = 4$

第二の式に30を掛けると、

$30 (\frac{1}{10}x + \frac{1}{3}y) = 30 (\frac{1}{2})$

$3x + 10y = 15$

これで、次の連立方程式が得られます。

$\begin{cases}

2x + 5y = 4 \\

3x + 10y = 15

\end{cases}$

次に、一方の変数を消去するために、一方の式を定数倍して、もう一方の式から引きます。

第一の式を-2倍すると、

$-4x - 10y = -8$

第二の式をそのまま使います。

$3x + 10y = 15$

二つの式を足し合わせると、yが消去されます。

$(-4x - 10y) + (3x + 10y) = -8 + 15$

$-x = 7$

$x = -7$

$x = -7$を最初の式に代入して、$y$を求めます。

$2(-7) + 5y = 4$

$-14 + 5y = 4$

$5y = 18$

$y = \frac{18}{5}$

3. 最終的な答え

$x = -7$

$y = \frac{18}{5}$