数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$ ($n=1, 2, 3, ...$) によって定義されている。$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくとき、数列 $\{b_n+1\}$ の初項と公比、および数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$ ($n=1, 2, 3, ...$) によって定義されている。$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくとき、数列 $\{b_n+1\}$ の初項と公比、および数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおく。すると、

$$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2a_n + 3}{a_n} = 2 + \frac{3}{a_n} = 2 + 3b_n$$

したがって、

$$b_{n+1} + 1 = 3b_n + 3 = 3(b_n + 1)$$

これは数列 $\{b_n + 1\}$ が公比3の等比数列であることを意味する。

初項 $b_1 + 1$ は、$b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{1} = 1$ より、$b_1 + 1 = 1 + 1 = 2$ である。

したがって、数列 $\{b_n + 1\}$ の一般項は

$$b_n + 1 = (b_1 + 1) \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$$

よって、

$$b_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$$

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1}$$

3. 最終的な答え

数列 $\{b_n+1\}$ の初項は 2、公比は 3。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1}$。