(1) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = n^2 + 3n$ で表される数列 $\{a_n\}$ について、初項 $a_1$ と一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) 数列 $1 \cdot 1, 3 \cdot 2, 5 \cdot 2^2, \dots, (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ の和 $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = n^2 + 3n$ で表される数列 $\{a_n\}$ について、初項 $a_1$ と一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) 数列 $1 \cdot 1, 3 \cdot 2, 5 \cdot 2^2, \dots, (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ の和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a_1$ は $n=1$ のときの $S_n$ の値であるから、

$a_1 = S_1 = 1^2 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4$

一般項 $a_n$ は、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$a_n = (n^2 + 3n) - ((n-1)^2 + 3(n-1))$

$a_n = (n^2 + 3n) - (n^2 - 2n + 1 + 3n - 3)$

$a_n = n^2 + 3n - n^2 + 2n - 1 - 3n + 3$

$a_n = 2n + 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2(1) + 2 = 4$ となり、$a_1 = 4$ と一致するので、一般項は $a_n = 2n + 2$ である。

(2) $S_n = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

$2S_n = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-3) \cdot 2^{n-1} + (2n-1) \cdot 2^n$

$S_n - 2S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S_n = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S_n = 1 + 2 \cdot \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S_n = 1 + 4(2^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S_n = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S_n = 2^{n+1} - 3 - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S_n = 2 \cdot 2^n - 3 - 2n \cdot 2^n + 2^n$

$-S_n = 3 \cdot 2^n - 3 - 2n \cdot 2^n$

$-S_n = (3 - 2n) \cdot 2^n - 3$

$S_n = (2n-3) \cdot 2^n + 3$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 4$, $a_n = 2n + 2$

(2) $S_n = (2n-3) \cdot 2^n + 3$