与えられた等式 $x^2 - x = a(x-3)^2 + b(x-3) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^2 - x = a(x-3)^2 + b(x-3) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を展開し、整理します。

$x^2 - x = a(x^2 - 6x + 9) + b(x - 3) + c$

$x^2 - x = ax^2 - 6ax + 9a + bx - 3b + c$

$x^2 - x = ax^2 + (-6a + b)x + (9a - 3b + c)$

この式が $x$ についての恒等式となるためには、両辺の $x$ の各次数の係数が一致する必要があります。したがって、次の連立方程式が成り立ちます。

$x^2$ の係数: $1 = a$

$x$ の係数: $-1 = -6a + b$

定数項: $0 = 9a - 3b + c$

まず、$a = 1$ が得られます。

次に、$-1 = -6a + b$ に $a = 1$ を代入すると、

$-1 = -6(1) + b$

$-1 = -6 + b$

$b = -1 + 6 = 5$

最後に、$0 = 9a - 3b + c$ に $a = 1$ と $b = 5$ を代入すると、

$0 = 9(1) - 3(5) + c$

$0 = 9 - 15 + c$

$0 = -6 + c$

$c = 6$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 5$

$c = 6$