与えられた2次式 $2x^2 - 7x + 2$ を、複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $2x^2 - 7x + 2$ を、複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $2x^2 - 7x + 2 = 0$ の解を求めます。解の公式を使用します。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

今回の問題では、$a = 2$, $b = -7$, $c = 2$ なので、

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 16}}{4}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{4}$

したがって、2次方程式の解は $x = \frac{7 + \sqrt{33}}{4}$ と $x = \frac{7 - \sqrt{33}}{4}$ です。

次に、これらの解を用いて、2次式を因数分解します。

一般に、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が $\alpha$ と $\beta$ であるとき、$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。

今回の問題では、$a = 2$, $\alpha = \frac{7 + \sqrt{33}}{4}$, $\beta = \frac{7 - \sqrt{33}}{4}$ なので、

$2x^2 - 7x + 2 = 2(x - \frac{7 + \sqrt{33}}{4})(x - \frac{7 - \sqrt{33}}{4})$

3. 最終的な答え

$2(x - \frac{7 + \sqrt{33}}{4})(x - \frac{7 - \sqrt{33}}{4})$