画像には、いくつかの数学の問題が含まれています。具体的には、乗法公式の利用、分母の有理化、式の値、根号のついた数の整数部分と小数部分に関する問題があります。ここでは、式の値に関する問題(1)を解きます。 問題(1)は、$x = \sqrt{6} - 3$ のとき、$x^2 - 2x - 15$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

画像には、いくつかの数学の問題が含まれています。具体的には、乗法公式の利用、分母の有理化、式の値、根号のついた数の整数部分と小数部分に関する問題があります。ここでは、式の値に関する問題(1)を解きます。

問題(1)は、$x = \sqrt{6} - 3$ のとき、$x^2 - 2x - 15$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 2x - 15$ に $x = \sqrt{6} - 3$ を代入します。

$x^2 - 2x - 15 = (\sqrt{6} - 3)^2 - 2(\sqrt{6} - 3) - 15$

次に、$(\sqrt{6} - 3)^2$を展開します。

$(\sqrt{6} - 3)^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 3 + 3^2 = 6 - 6\sqrt{6} + 9 = 15 - 6\sqrt{6}$

次に、$-2(\sqrt{6} - 3)$を展開します。

$-2(\sqrt{6} - 3) = -2\sqrt{6} + 6$

これらの結果を元の式に代入します。

$x^2 - 2x - 15 = (15 - 6\sqrt{6}) + (-2\sqrt{6} + 6) - 15$

式を整理します。

$x^2 - 2x - 15 = 15 - 6\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 6 - 15 = 6 - 8\sqrt{6}$

したがって、$x^2 - 2x - 15 = 6 - 8\sqrt{6}$ です。

別の解き方として、$x = \sqrt{6} - 3$ を $x + 3 = \sqrt{6}$ と変形し、両辺を二乗します。

$(x + 3)^2 = (\sqrt{6})^2$

$x^2 + 6x + 9 = 6$

$x^2 + 6x + 3 = 0$

ここで、$x^2 - 2x - 15$ を $x^2 + 6x + 3$ を用いて表すことを考えます。

$x^2 - 2x - 15 = (x^2 + 6x + 3) - 8x - 18$

$x^2 + 6x + 3 = 0$ なので、

$x^2 - 2x - 15 = -8x - 18$

$x = \sqrt{6} - 3$ を代入すると、

$x^2 - 2x - 15 = -8(\sqrt{6} - 3) - 18 = -8\sqrt{6} + 24 - 18 = 6 - 8\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$6 - 8\sqrt{6}$