$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$、$a^2+b^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$、$a^2+b^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ を有理化します。

$\frac{2}{\sqrt{6}-2} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{6-4} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{2} = \sqrt{6}+2$

$\sqrt{6}$ の値のおおよその範囲を考えます。

$2^2 = 4$ であり、$3^2 = 9$ なので、$2 < \sqrt{6} < 3$ です。

$2.4^2 = 5.76$ であり、$2.5^2 = 6.25$ なので、$2.4 < \sqrt{6} < 2.5$ であることが分かります。

したがって、$\sqrt{6}+2$ の範囲は $4.4 < \sqrt{6}+2 < 4.5$ となります。

整数部分 $a$ は 4 です。

$b$ は小数部分なので、$b = (\sqrt{6}+2) - a = \sqrt{6}+2 - 4 = \sqrt{6}-2$

次に、$a^2+b^2$ を計算します。

$a^2+b^2 = 4^2+(\sqrt{6}-2)^2 = 16+(6-4\sqrt{6}+4) = 16+10-4\sqrt{6} = 26-4\sqrt{6}$

$a$ を求めます。$\frac{2}{\sqrt{6}-2} = \sqrt{6} + 2$ であり、$2 < \sqrt{6} < 3$ なので、$4 < \sqrt{6}+2 < 5$。

したがって、$a = 4$

$a^2 + b^2$ を計算します。

$b = \sqrt{6}+2 - 4 = \sqrt{6}-2$

$a^2 + b^2 = 4^2 + (\sqrt{6}-2)^2 = 16 + (6 - 4\sqrt{6} + 4) = 16 + 10 - 4\sqrt{6} = 26 - 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$

(3) $a^2+b^2 = 26 - 4\sqrt{6}$