関数 $f_1(x)$ が $x=0$ で連続となるように、定数 $a$ の値を決定します。

## 問題4：以下の各関数が連続になるように、定数 a の値を定めよ。

### (1)

$f_1(x) = \begin{cases} x^2 & (x \ne 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$

1. **問題の内容**

関数 $f_1(x)$ が $x=0$ で連続となるように、定数 $a$ の値を決定します。

2. **解き方の手順**

関数が $x=0$ で連続であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

1. $f_1(0)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to 0} f_1(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to 0} f_1(x) = f_1(0)$

まず、$f_1(0) = a$ です。

次に、$\lim_{x \to 0} f_1(x) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$ です。

したがって、連続性の条件から $a = 0$ となります。

3. **最終的な答え**

$a = 0$

### (2)

$f_2(x) = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1} & (x \ne 1) \\ a & (x = 1) \end{cases}$

1. **問題の内容**

関数 $f_2(x)$ が $x=1$ で連続となるように、定数 $a$ の値を決定します。

2. **解き方の手順**

関数が $x=1$ で連続であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

1. $f_2(1)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to 1} f_2(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to 1} f_2(x) = f_2(1)$

まず、$f_2(1) = a$ です。

次に、$\lim_{x \to 1} f_2(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$ です。

したがって、連続性の条件から $a = 2$ となります。

3. **最終的な答え**

$a = 2$

### (3)

$f_3(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & (x < -1) \\ \frac{a}{x+5} & (x \ge -1) \end{cases}$

1. **問題の内容**

関数 $f_3(x)$ が $x=-1$ で連続となるように、定数 $a$ の値を決定します。

2. **解き方の手順**

関数が $x=-1$ で連続であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

1. $f_3(-1)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to -1^-} f_3(x)$ と $\lim_{x \to -1^+} f_3(x)$ が存在し、等しい。

3. $\lim_{x \to -1} f_3(x) = f_3(-1)$

まず、$f_3(-1) = \frac{a}{-1+5} = \frac{a}{4}$ です。

次に、左からの極限は $\lim_{x \to -1^-} f_3(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{-1} = -1$ です。

右からの極限は $\lim_{x \to -1^+} f_3(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{a}{x+5} = \frac{a}{-1+5} = \frac{a}{4}$ です。

連続性の条件から、$-1 = \frac{a}{4}$ となり、$a = -4$ となります。

3. **最終的な答え**

$a = -4$

### (4)

$f_4(x) = \begin{cases} a \cos x & (x \le 0) \\ \frac{\sin 2x}{x} & (x > 0) \end{cases}$

1. **問題の内容**

関数 $f_4(x)$ が $x=0$ で連続となるように、定数 $a$ の値を決定します。

2. **解き方の手順**

関数が $x=0$ で連続であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

1. $f_4(0)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to 0^-} f_4(x)$ と $\lim_{x \to 0^+} f_4(x)$ が存在し、等しい。

3. $\lim_{x \to 0} f_4(x) = f_4(0)$

まず、$f_4(0) = a \cos(0) = a$ です。

次に、左からの極限は $\lim_{x \to 0^-} f_4(x) = \lim_{x \to 0^-} a \cos x = a \cos(0) = a$ です。

右からの極限は $\lim_{x \to 0^+} f_4(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2 \sin 2x}{2x} = 2 \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$ です。

連続性の条件から、$a = 2$ となります。

3. **最終的な答え**

$a = 2$