与えられた関数 $y$ を対数微分法を用いて微分せよ。 (1) $y = (5+x)^x$, ($x > -5$) (2) $y = (\sin x)^x$, ($0 < x < \pi$) (3) $y = (1+x^2)^x$ (4) $y = (\log x)^x$, ($x > 1$)

はい、承知いたしました。対数微分法を用いて、与えられた関数を微分します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を対数微分法を用いて微分せよ。

(1) $y = (5+x)^x$, ($x > -5$)

(2) $y = (\sin x)^x$, ($0 < x < \pi$)

(3) $y = (1+x^2)^x$

(4) $y = (\log x)^x$, ($x > 1$)

2. 解き方の手順

対数微分法は、関数 $y = f(x)^{g(x)}$ のような形を微分するのに便利です。

両辺の自然対数をとり、対数の性質を利用して微分しやすい形に変形します。その後、両辺を $x$ で微分し、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。最後に $y$ を代入して答えを求めます。

(1) $y = (5+x)^x$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log (5+x)^x = x \log(5+x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log(5+x) + x \cdot \frac{1}{5+x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \log(5+x) + \frac{x}{5+x} \right)$

$y = (5+x)^x$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = (5+x)^x \left( \log(5+x) + \frac{x}{5+x} \right)$

(2) $y = (\sin x)^x$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log (\sin x)^x = x \log(\sin x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log(\sin x) + x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \log(\sin x) + x \cot x$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \log(\sin x) + x \cot x \right)$

$y = (\sin x)^x$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x \left( \log(\sin x) + x \cot x \right)$

(3) $y = (1+x^2)^x$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log (1+x^2)^x = x \log(1+x^2)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log(1+x^2) + x \cdot \frac{2x}{1+x^2} = \log(1+x^2) + \frac{2x^2}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \log(1+x^2) + \frac{2x^2}{1+x^2} \right)$

$y = (1+x^2)^x$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = (1+x^2)^x \left( \log(1+x^2) + \frac{2x^2}{1+x^2} \right)$

(4) $y = (\log x)^x$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log (\log x)^x = x \log(\log x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log(\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log(\log x) + \frac{1}{\log x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

$y = (\log x)^x$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = (5+x)^x \left( \log(5+x) + \frac{x}{5+x} \right)$

(2) $\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x \left( \log(\sin x) + x \cot x \right)$

(3) $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)^x \left( \log(1+x^2) + \frac{2x^2}{1+x^2} \right)$

(4) $\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$