問題は、数列 $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4} > \sqrt[5]{5} > \cdots > \sqrt[n]{n} > \cdots$ を証明することです。

1. 問題の内容

問題は、数列 $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4} > \sqrt[5]{5} > \cdots > \sqrt[n]{n} > \cdots$ を証明することです。

2. 解き方の手順

数列 $a_n = \sqrt[n]{n} = n^{\frac{1}{n}}$ について考えます。

$a_n > a_{n+1}$ を示すことが目標です。つまり、$n^{\frac{1}{n}} > (n+1)^{\frac{1}{n+1}}$ を示します。

両辺を $n(n+1)$ 乗すると、$n^{n+1} > (n+1)^n$ となります。

これを証明するために、$f(x) = \frac{\ln x}{x}$ という関数を考えます。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは $1 - \ln x = 0$、つまり $\ln x = 1$、すなわち $x = e$ のときです。

$x > e$ であれば $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は単調減少です。

したがって、$n \ge 3$ のとき、$f(n) > f(n+1)$ であれば、$\frac{\ln n}{n} > \frac{\ln (n+1)}{n+1}$ となります。

両辺に $n(n+1)$ をかけると、$(n+1) \ln n > n \ln (n+1)$ となり、$\ln n^{n+1} > \ln (n+1)^n$ となります。

対数を外すと、$n^{n+1} > (n+1)^n$ が得られます。

これは、$n^{\frac{1}{n}} > (n+1)^{\frac{1}{n+1}}$ を意味します。

$n \ge 3$ であれば、$a_n$ は単調減少になります。

$a_3 = \sqrt[3]{3} \approx 1.442$, $a_4 = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \approx 1.414$, $a_5 = \sqrt[5]{5} \approx 1.380$

したがって、$a_3 > a_4 > a_5$ が成立します。

3. 最終的な答え

数列 $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4} > \sqrt[5]{5} > \cdots > \sqrt[n]{n} > \cdots$ は証明されました。