$\lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \arctan^{-1} x \right)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \arctan^{-1} x \right)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\arctan(x)$ の性質を利用します。$\arctan(x) + \arctan(1/x) = \pi/2$ が成り立ちます（$x > 0$の場合）。したがって、

$$\frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$$

これを用いて、与えられた極限は

$$\lim_{x \to \infty} x \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$$

となります。

$t = 1/x$ と置くと、$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$ となります。したがって、

$$\lim_{x \to \infty} x \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t}$$

ここで、ロピタルの定理を用いると、

$$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1+t^2}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{1+t^2} = \frac{1}{1+0^2} = 1$$

または、$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$という既知の極限を使用することもできます。

3. 最終的な答え

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