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曲線 $y = x^2 - 3x + 2$ 上の点 $(0, 2)$ における接線の方程式を求める。

解析学微分接線導関数曲線
2025/6/1

1. 問題の内容

曲線 y=x2−3x+2y = x^2 - 3x + 2 上の点 (0,2)(0, 2) における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線の式を微分して、導関数 y′y' を求める。
y=x2−3x+2y = x^2 - 3x + 2 を微分すると、
y′=2x−3y' = 2x - 3
次に、点 (0,2)(0, 2) における接線の傾き mm を求める。これは、導関数 y′y' に x=0x = 0 を代入することで得られる。
m=2(0)−3=−3m = 2(0) - 3 = -3
したがって、点 (0,2)(0, 2) における接線の傾きは −3-3 である。
接線の傾きと接点 (0,2)(0, 2) がわかったので、点傾斜式を使って接線の方程式を求める。点傾斜式は、
y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)
ここで、(x1,y1)=(0,2)(x_1, y_1) = (0, 2) であり、m=−3m = -3 なので、
y−2=−3(x−0)y - 2 = -3(x - 0)
y−2=−3xy - 2 = -3x
y=−3x+2y = -3x + 2
これが、与えられた曲線上の点 (0,2)(0, 2) における接線の方程式である。

3. 最終的な答え

y=−3x+2y = -3x + 2

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