与えられた積分の問題を解きます。問題は、関数 $\frac{x^2}{(1+x^2)^2}$ の不定積分を求めることです。つまり、 $$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx$$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。問題は、関数 $\frac{x^2}{(1+x^2)^2}$ の不定積分を求めることです。つまり、

$$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx$$

を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いてこの積分を計算します。まず、積分を以下のように書き換えます。

$$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = \int x \cdot \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$$

ここで、$u = x$、$dv = \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$ とおきます。すると、$du = dx$ であり、

$v = \int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$ を計算する必要があります。

$w = 1+x^2$ と置換すると、$dw = 2x dx$ なので、$x dx = \frac{1}{2} dw$。

したがって、

$$v = \int \frac{1}{w^2} \cdot \frac{1}{2} dw = \frac{1}{2} \int w^{-2} dw = \frac{1}{2} \cdot \frac{w^{-1}}{-1} = -\frac{1}{2w} = -\frac{1}{2(1+x^2)}$$

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = x \cdot \left(-\frac{1}{2(1+x^2)}\right) - \int \left(-\frac{1}{2(1+x^2)}\right) dx = -\frac{x}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x^2} dx$$

ここで、$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C$ なので、

$$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = -\frac{x}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C$$

3. 最終的な答え

$$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = \frac{1}{2}\arctan(x) - \frac{x}{2(1+x^2)} + C$$

ここで、$C$ は積分定数です。