与えられた関数 $y = x^3 - 6x^2 - 8x + 10$ の極値を求め、グラフを描く問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^3 - 6x^2 - 8x + 10$ の極値を求め、グラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

極値を求めるためには、まず微分して導関数を求め、その導関数が0になる点を求めます。さらに、その前後の導関数の符号を調べ、極大値と極小値を判別します。最後に、求めた極値といくつかの代表的な点を用いてグラフを描きます。

(1) 導関数を求める:

$y = x^3 - 6x^2 - 8x + 10$ を $x$ で微分します。

$y' = 3x^2 - 12x - 8$

(2) 導関数が0になる点を求める:

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 12x - 8 = 0$

この二次方程式を解の公式を使って解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(-8)}}{2(3)}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 96}}{6}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{240}}{6}$

$x = \frac{12 \pm 4\sqrt{15}}{6}$

$x = 2 \pm \frac{2\sqrt{15}}{3}$

$x_1 = 2 - \frac{2\sqrt{15}}{3} \approx -0.58$

$x_2 = 2 + \frac{2\sqrt{15}}{3} \approx 4.58$

(3) 極大・極小を判別する:

$y'' = 6x - 12$

$x_1$ での $y''$ の値:

$y''(-0.58) = 6(-0.58) - 12 = -3.48 - 12 = -15.48 < 0$

よって、$x_1$ で極大値をとる。

$x_2$ での $y''$ の値:

$y''(4.58) = 6(4.58) - 12 = 27.48 - 12 = 15.48 > 0$

よって、$x_2$ で極小値をとる。

(4) 極値を計算する:

$y(x_1) = y(2 - \frac{2\sqrt{15}}{3})$ を計算します。

$y(x_1) \approx y(-0.58) = (-0.58)^3 - 6(-0.58)^2 - 8(-0.58) + 10 \approx 12.7$

$y(x_2) = y(2 + \frac{2\sqrt{15}}{3})$ を計算します。

$y(x_2) \approx y(4.58) = (4.58)^3 - 6(4.58)^2 - 8(4.58) + 10 \approx -32.7$

(5) グラフを描く：

極大値 $(-0.58, 12.7)$、極小値 $(4.58, -32.7)$ を持ち、$y$切片は $(0, 10)$ であることを考慮してグラフを描きます。

3. 最終的な答え

極大値: $x \approx -0.58$, $y \approx 12.7$

極小値: $x \approx 4.58$, $y \approx -32.7$

グラフは、$x=-0.58$付近で極大、$x=4.58$付近で極小となり、$y$切片が$10$となるように描きます。