図形の角度に関する問題です。問題は2つあります。 (1) 円周角の定理と三角形の内角の和を利用して、角$\alpha$と角$\beta$を求める。 (2) 四角形の内角の和は360度であることと三角形の内角の和を利用して、角$\alpha$と角$\beta$を求める。

1. 問題の内容

図形の角度に関する問題です。問題は2つあります。

(1) 円周角の定理と三角形の内角の和を利用して、角$\alpha$と角$\beta$を求める。

(2) 四角形の内角の和は360度であることと三角形の内角の和を利用して、角$\alpha$と角$\beta$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 円周角の定理より、$\angle BAC = \angle BDC = 60^\circ$

* $\angle BCE = 43^\circ$ (与えられている)

* 三角形BCDにおいて、

$\beta = 180^\circ - \angle BDC - \angle BCE = 180^\circ - 60^\circ - 43^\circ = 77^\circ$

* 三角形ACEの外角として、

$\beta = \alpha + \angle CAE$, すなわち $77^\circ = \alpha + 60^\circ$.

* したがって、$\alpha = 77^\circ - 60^\circ = 17^\circ$

(2)

* 四角形の内角の和は360度なので、

$47^\circ + 30^\circ + 83^\circ + 20^\circ + \alpha + \beta = 360^\circ$

$180^\circ + \alpha + \beta = 360^\circ$

$\alpha + \beta = 180^\circ$

* 左上の三角形に着目すると、

$47^\circ + 30^\circ + \angle A = 180^\circ$

$\angle A = 180^\circ - 47^\circ - 30^\circ = 103^\circ$

* 右下の三角形に着目すると、

$83^\circ + 20^\circ + \angle B = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 83^\circ - 20^\circ = 77^\circ$

* 向かい合う角なので、$\alpha = \angle B = 77^\circ$

* $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ$

3. 最終的な答え

(1)

$\alpha = 17^\circ$

$\beta = 77^\circ$

(2)

$\alpha = 77^\circ$

$\beta = 103^\circ$