三角形ABCにおいて、$BC=8$, $CA=4$である。内接円と辺BC, CA, ABとの接点をそれぞれP, Q, Rとする。$BP=5$のとき、線分BR, ABの長さを求めよ。

## 問題1

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=8$, $CA=4$である。内接円と辺BC, CA, ABとの接点をそれぞれP, Q, Rとする。$BP=5$のとき、線分BR, ABの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

内接円の性質より、円外の一点から引いた接線の長さは等しいことを利用する。

まず、$BP=5$なので、$CP = BC - BP = 8 - 5 = 3$。

同様に、$CP = CQ = 3$。

$AQ = AC - CQ = 4 - 3 = 1$。

$AR = AQ = 1$。

$BR = BP = 5$。

したがって、$AB = AR + BR = 1 + 5 = 6$。

3. 最終的な答え

$BR = 5$, $AB = 6$

## 問題2

1. 問題の内容

円に内接する三角形ABCがあり、円の接線lが点Aで接している。$\angle{CAP} = 51^\circ$で、AC = BCである。$\angle{ABC} = \alpha$, $\angle{ACB} = \beta$を求めよ。ただしPは直線l上の点とする。

2. 解き方の手順

接弦定理より、$\angle{ABC} = \angle{CAP} = 51^\circ$。

したがって、$\alpha = 51^\circ$。

$\triangle{ABC}$は二等辺三角形なので、$\angle{BAC} = \angle{ABC} = 51^\circ$。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\beta = 180^\circ - \angle{ABC} - \angle{BAC} = 180^\circ - 51^\circ - 51^\circ = 78^\circ$。

3. 最終的な答え

$\alpha = 51^\circ$, $\beta = 78^\circ$

## 問題3

1. 問題の内容

円に内接する四角形ACDBがあり、線分AB, CDを延長した交点をPとする。

$AP=x$, $AB=4$, $CP=5$, $CD=7$である。xの値を求めよ。

2. 解き方の手順

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$が成り立つ。

$PB = PA + AB = x + 4$

$PD = PC + CD = 5 + 7 = 12$

したがって、$x(x+4) = 5 \cdot 12$

$x^2 + 4x = 60$

$x^2 + 4x - 60 = 0$

$(x+10)(x-6) = 0$

$x = -10$ or $x = 6$

$x$は長さなので、$x>0$。

3. 最終的な答え

$x = 6$