与えられた積分 $\int \sqrt{e^x + 1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sqrt{e^x + 1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、変数変換を行います。

$u = \sqrt{e^x + 1}$ とおくと、$u^2 = e^x + 1$ となります。

したがって、$e^x = u^2 - 1$ となり、$x = \ln(u^2 - 1)$ です。

これを微分すると、$dx = \frac{2u}{u^2 - 1} du$ となります。

よって、与えられた積分は

$\int u \cdot \frac{2u}{u^2 - 1} du = \int \frac{2u^2}{u^2 - 1} du$ となります。

さらに、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{2u^2}{u^2 - 1} = \frac{2(u^2 - 1) + 2}{u^2 - 1} = 2 + \frac{2}{u^2 - 1} = 2 + \frac{2}{(u - 1)(u + 1)}$

$\frac{2}{(u - 1)(u + 1)} = \frac{A}{u - 1} + \frac{B}{u + 1}$

$2 = A(u + 1) + B(u - 1)$

$u = 1$ のとき、$2 = 2A$ より $A = 1$

$u = -1$ のとき、$2 = -2B$ より $B = -1$

したがって、

$\frac{2u^2}{u^2 - 1} = 2 + \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1}$

積分は

$\int (2 + \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1}) du = 2u + \ln|u - 1| - \ln|u + 1| + C = 2u + \ln|\frac{u - 1}{u + 1}| + C$

ここで、$u = \sqrt{e^x + 1}$ を代入すると、

$2\sqrt{e^x + 1} + \ln|\frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1}| + C$ となります。

$\frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1} = \frac{(\sqrt{e^x + 1} - 1)^2}{e^x} = \frac{e^x + 1 - 2\sqrt{e^x + 1} + 1}{e^x} = \frac{e^x + 2 - 2\sqrt{e^x + 1}}{e^x}$

別の解法として、

$\int \frac{2u^2}{u^2 - 1} du = \int 2(1 + \frac{1}{u^2-1})du = 2u + \int \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1} du = 2u + \ln|u-1| - \ln|u+1| + C = 2u + \ln|\frac{u-1}{u+1}| + C = 2\sqrt{e^x+1} + \ln|\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}| + C$.

$\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1} = \frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1} \cdot \frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}-1} = \frac{e^x+1-2\sqrt{e^x+1}+1}{e^x+1-1} = \frac{e^x+2-2\sqrt{e^x+1}}{e^x} = 1 + 2e^{-x} - 2e^{-x}\sqrt{e^x+1}$.

したがって、$\int \sqrt{e^x + 1} dx = 2\sqrt{e^x + 1} + \ln|\frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1}| + C$.

3. 最終的な答え

$2\sqrt{e^x + 1} + \ln|\frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1}| + C$