(1) 半径7cmの円に外接する正三角形の一辺の長さを求めなさい。 (2) 母線が13cm、底面の半径が12cmの円錐の体積を求めなさい。 (3) 1辺の長さが4cmの正三角形の面積を求めなさい。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

(1) 半径7cmの円に外接する正三角形の一辺の長さを求めなさい。

(2) 母線が13cm、底面の半径が12cmの円錐の体積を求めなさい。

(3) 1辺の長さが4cmの正三角形の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 正三角形の中心から各頂点までの距離は、外接円の半径の2倍になります。また、正三角形の中心から各辺の中点までの距離は、内接円の半径と等しくなります。正三角形の一辺の長さを$a$とすると、内接円の半径$r$との間には、$r = \frac{\sqrt{3}}{6}a$という関係があります。この問題では、$r = 7$cmなので、$7 = \frac{\sqrt{3}}{6}a$を解いて$a$を求めます。

$7 = \frac{\sqrt{3}}{6}a$

$a = \frac{42}{\sqrt{3}} = \frac{42\sqrt{3}}{3} = 14\sqrt{3}$

(2) 円錐の体積$V$は、$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$で求められます。ここで、$r$は底面の半径、$h$は高さです。母線が13cm、底面の半径が12cmなので、ピタゴラスの定理より、$h = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$cm。

したがって、円錐の体積は、$V = \frac{1}{3} \pi (12^2)(5) = \frac{1}{3} \pi (144)(5) = 240 \pi$立方cm。

(3) 正三角形の面積$S$は、$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$で求められます。ここで、$a$は一辺の長さです。この問題では、$a = 4$cmなので、$S = \frac{\sqrt{3}}{4} (4^2) = \frac{\sqrt{3}}{4} (16) = 4\sqrt{3}$平方cm。

3. 最終的な答え

(1) $14\sqrt{3}$ cm (選択肢4)

(2) $240\pi$ cm$^3$ (選択肢2)

(3) $4\sqrt{3}$ cm$^2$ (選択肢3)