以下の4つの不定積分を計算します。 (1) $\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$ (2) $\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$ (3) $\int (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx$ (4) $\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$

はい、承知しました。画像の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの不定積分を計算します。

(1) $\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$

(2) $\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$

(3) $\int (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx$

(4) $\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$

各項を個別に積分します。$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$を使用します。

$\int 6x^5 dx = 6 \cdot \frac{x^6}{6} = x^6$

$\int 5x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$

$\int -\frac{1}{x^2} dx = \int -x^{-2} dx = - \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{1}{x}$

したがって、$\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx = x^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C$

(2) $\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$

まず、式を整理します。

$\sqrt{\frac{4}{x^3}} = \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} = 2x^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-\frac{1}{2}}$

$(3x)^2 = 9x^2$

したがって、$\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx = \int (2x^{-\frac{3}{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-\frac{1}{2}} + 9x^2) dx$

各項を個別に積分します。

$\int 2x^{-\frac{3}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} = -4x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{4}{\sqrt{x}}$

$\int \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \sqrt{x} = \sqrt{2} \sqrt{x}$

$\int 9x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$

したがって、$\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx = -\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C$

(3) $\int (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx$

まず、式を展開します。

$(x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) = \frac{x}{x^3} + x - \frac{1}{x^3} - 1 = \frac{1}{x^2} + x - \frac{1}{x^3} - 1 = x^{-2} + x - x^{-3} - 1$

したがって、$\int (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx = \int (x^{-2} + x - x^{-3} - 1) dx$

各項を個別に積分します。

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

$\int -x^{-3} dx = - \frac{x^{-2}}{-2} = \frac{1}{2x^2}$

$\int -1 dx = -x$

したがって、$\int (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx = -\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x + C$

(4) $\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$

まず、式を整理します。

$\frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{\sqrt{x^3}}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} = x + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} = x + x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}$

したがって、$\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx = \int (x + x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}) dx$

各項を個別に積分します。

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$

$\int -x^{-\frac{1}{2}} dx = - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = -2\sqrt{x}$

したがって、$\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx = \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2\sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx = x^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C$

(2) $\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx = -\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C$

(3) $\int (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx = -\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x + C$

(4) $\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx = \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2\sqrt{x} + C$