この問題は、3つの異なる問題から構成されています。 (1) 数字1, 2, 3を重複を許して使って作れる5桁の整数は何個あるか。また、4桁以下の整数は何個あるか。 (2) 5人の人を、2つの部屋A, Bに入れる方法は何通りあるか。ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。 (3) 集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}の部分集合の個数を求めよ。

1. 問題の内容

この問題は、3つの異なる問題から構成されています。

(1) 数字1, 2, 3を重複を許して使って作れる5桁の整数は何個あるか。また、4桁以下の整数は何個あるか。

(2) 5人の人を、2つの部屋A, Bに入れる方法は何通りあるか。ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。

(3) 集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}の部分集合の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の整数の場合：各桁に1, 2, 3のいずれかを入れられるので、3の5乗が答えとなります。

$3^5 = 243$

4桁以下の整数の場合：1桁、2桁、3桁、4桁の整数をそれぞれ考えます。

1桁の整数は3個。

2桁の整数は$3^2 = 9$個。

3桁の整数は$3^3 = 27$個。

4桁の整数は$3^4 = 81$個。

合計は$3 + 9 + 27 + 81 = 120$個となります。

(2) 5人の人を2つの部屋に入れる場合：各人は部屋Aか部屋Bのどちらかに入るので、各人について2通りの選択肢があります。したがって、5人全体では$2^5 = 32$通りの入れ方があります。ただし、この中には全員が部屋Aに入る場合と全員が部屋Bに入る場合が含まれています。問題文には「1人も入らない部屋があってもよい」とあるので、この32通りがそのまま答えになります。

(3) 集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}の部分集合の個数：

集合の要素数がn個のとき、その部分集合の個数は$2^n$個です。この場合、要素数は7なので、部分集合の個数は$2^7 = 128$個となります。

3. 最終的な答え

(1) 5桁の整数: 243個

4桁以下の整数: 120個

(2) 5人を2つの部屋に入れる方法: 32通り

(3) 集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}の部分集合の個数: 128個