正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

奇数列の第 $k$ 項は $2k-1$ で表される。

第 $n$ 群の最初の数は、第 $(1+2+...+(n-1)+1)$ 項である。

$1+2+...+(n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ であるから、第 $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 項が第 $n$ 群の最初の数となる。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、

$2(\frac{(n-1)n}{2}+1) - 1 = n(n-1) + 2 - 1 = n^2 - n + 1$

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

第15群には15個の数が入る。

第15群の最初の数は、(1)より $15^2 - 15 + 1 = 225 - 15 + 1 = 211$ である。

第15群は、初項211、公差2、項数15の等差数列である。

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ を用いると、

$S_{15} = \frac{15}{2}(2(211) + (15-1)(2))$

$S_{15} = \frac{15}{2}(422 + 14(2))$

$S_{15} = \frac{15}{2}(422 + 28)$

$S_{15} = \frac{15}{2}(450)$

$S_{15} = 15 \cdot 225 = 3375$

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数：$n^2 - n + 1$

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$：$3375$