原点をO、点Pの座標は(3,2)、点Qの座標は(2,1)とする。点Pを通り、OQと平行な直線を以下の3つの形式で表すとき、aからhの値を求めよ。 * ベクトル形式: $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} c \\ 1 \end{pmatrix}$ * 傾きとy切片の形式: $y = dx + e$ * 標準形式: $\frac{x - f}{g} = \frac{y - h}{1}$

1. 問題の内容

原点をO、点Pの座標は(3,2)、点Qの座標は(2,1)とする。点Pを通り、OQと平行な直線を以下の3つの形式で表すとき、aからhの値を求めよ。

* ベクトル形式: $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} c \\ 1 \end{pmatrix}$

* 傾きとy切片の形式: $y = dx + e$

* 標準形式: $\frac{x - f}{g} = \frac{y - h}{1}$

2. 解き方の手順

(1) ベクトル形式について：

点P(3, 2)を通るので、$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ となる。

よって、$a = 3$, $b = 2$.

OQベクトルは$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ なので、$\begin{pmatrix} c \\ 1 \end{pmatrix}$ はOQベクトルに平行である。

したがって、$c = 2$.

(2) 傾きとy切片の形式について：

OQの傾きは$\frac{1}{2}$である。点P(3, 2)を通る直線の式は、

$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 3)$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} + 2$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

よって、$d = \frac{1}{2}$, $e = \frac{1}{2}$.

(3) 標準形式について：

OQの傾きは$\frac{1}{2}$なので、標準形式の直線の式は点P(3,2)を通ることから、

$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{1}$

よって、$f = 3$, $g = 2$, $h = 2$.

3. 最終的な答え

* a = 3

* b = 2

* c = 2

* d = 1/2

* e = 1/2

* f = 3

* g = 2

* h = 2