問題は、次の分数の分母を有理化することです。 (3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$

1. 問題の内容

問題は、次の分数の分母を有理化することです。

(3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

分母を有理化するためには、分母の共役な複素数を分子と分母の両方に掛けます。

分母 $\sqrt{6} + \sqrt{3}$ の共役な複素数は $\sqrt{6} - \sqrt{3}$ です。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 6 - 2\sqrt{18} + 3 = 9 - 2\sqrt{9 \times 2} = 9 - 2(3\sqrt{2}) = 9 - 6\sqrt{2}$

分母を展開します。

$(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$

したがって、

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})} = \frac{9 - 6\sqrt{2}}{3} = \frac{3(3 - 2\sqrt{2})}{3} = 3 - 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$3 - 2\sqrt{2}$