図のように6つの部分（①から⑥）に色を塗る。 1つの部分には1つの色しか塗れない。 隣り合う部分は異なる色で塗る。 (1) 6色で塗り分ける方法は何通りあるか。 (2) 5色で塗り分ける方法は何通りあるか。 (3) 4色で塗り分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

図のように6つの部分（①から⑥）に色を塗る。

1つの部分には1つの色しか塗れない。

隣り合う部分は異なる色で塗る。

(1) 6色で塗り分ける方法は何通りあるか。

(2) 5色で塗り分ける方法は何通りあるか。

(3) 4色で塗り分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 6色で塗り分ける場合

①から順に色を塗っていくことを考える。

①は6色から選べる。

②は①で塗った色以外の5色から選べる。

③は①で塗った色以外の5色から選べる。

④は①と③で塗った色以外の4色から選べる。

⑤は①、②、④で塗った色以外の3色から選べる。

⑥は①、②、⑤で塗った色以外の3色から選べる。

したがって、塗り分け方は $6 \times 5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 3 = 5400$ 通りである。

(2) 5色で塗り分ける場合

まず、隣り合わない部分に同じ色を塗ることを考える。

①と⑤に同じ色を塗る場合、②と④に同じ色を塗る場合、③と⑥に同じ色を塗る場合が考えられる。

それぞれの組み合わせについて場合分けをして考える。

(i) ①と⑤が同じ色の場合

①と⑤の色を決めると5通り。

②は①と異なる色なので4通り。

③は①と異なる色なので4通り。

④は①と③と異なる色なので3通り。

⑥は①と②と異なる色なので3通り。

したがって、 $5 \times 4 \times 4 \times 3 \times 3 = 720$ 通り。

(ii) ②と④が同じ色の場合

②と④の色を決めると5通り。

①は②と異なる色なので4通り。

③は①と異なる色なので4通り。

⑤は①と②と異なる色なので3通り。

⑥は②と⑤と異なる色なので3通り。

したがって、 $5 \times 4 \times 4 \times 3 \times 3 = 720$ 通り。

(iii) ③と⑥が同じ色の場合

③と⑥の色を決めると5通り。

①は③と異なる色なので4通り。

②は①と異なる色なので4通り。

④は①と③と異なる色なので3通り。

⑤は①と②と異なる色なので3通り。

したがって、 $5 \times 4 \times 4 \times 3 \times 3 = 720$ 通り。

したがって、合計で $720 \times 3 = 2160$ 通りである。

(3) 4色で塗り分ける場合

①と⑤が同じ色で、②と④が同じ色になる場合、③と⑥が同じ色になる場合を考える。

①と⑤、②と④が同じ色になる場合

①と⑤の色を決めると4通り。

②と④の色を決めると3通り。

③は①と異なる色なので2通り。

⑥は②と異なる色なので2通り。

したがって、 $4 \times 3 \times 2 \times 2 = 48$ 通り。

①と⑤が同じ色で、③と⑥が同じ色になる場合

①と⑤の色を決めると4通り。

③と⑥の色を決めると3通り。

②は①と異なる色なので2通り。

④は①と③と異なる色なので1通り。

したがって、 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

②と④が同じ色で、③と⑥が同じ色になる場合

②と④の色を決めると4通り。

③と⑥の色を決めると3通り。

①は③と異なる色なので2通り。

⑤は②と異なる色なので1通り。

したがって、 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

合計は $48 + 24 + 24 = 96$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 6色で塗り分ける方法：5400通り

(2) 5色で塗り分ける方法：2160通り

(3) 4色で塗り分ける方法：96通り