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与えられた多項式を因数分解する。

代数学因数分解多項式
2025/6/2
はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(1) x3−8x2+17x−10x^3 - 8x^2 + 17x - 10、(2) x3−7x−6x^3 - 7x - 6、(3) 2x3+x2−8x−42x^3 + x^2 - 8x - 4、(4) 10x3−13x2−15x+1810x^3 - 13x^2 - 15x + 18、(5) x3+3x2+3x+2x^3 + 3x^2 + 3x + 2、(6) x4−4x3+10x2−17x+10x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10、(7) 9x4+24x3+13x2−10x−89x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8、(8) x4−x3−x+1x^4 - x^3 - x + 1 を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する。

2. 解き方の手順

因数定理を利用して、多項式の因数を見つけ、組み立て除法などを用いて因数分解を進める。
(1) x3−8x2+17x−10x^3 - 8x^2 + 17x - 10
P(x)=x3−8x2+17x−10P(x) = x^3 - 8x^2 + 17x - 10とおく。
P(1)=1−8+17−10=0P(1) = 1 - 8 + 17 - 10 = 0であるから、x−1x - 1を因数に持つ。
組み立て除法を行うと
```
1 | 1 -8 17 -10
| 1 -7 10
----------------
1 -7 10 0
```
よって、 x3−8x2+17x−10=(x−1)(x2−7x+10)x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = (x - 1)(x^2 - 7x + 10)
さらに、x2−7x+10=(x−2)(x−5)x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)
したがって、x3−8x2+17x−10=(x−1)(x−2)(x−5)x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = (x - 1)(x - 2)(x - 5)
(2) x3−7x−6x^3 - 7x - 6
P(x)=x3−7x−6P(x) = x^3 - 7x - 6とおく。
P(−1)=−1+7−6=0P(-1) = -1 + 7 - 6 = 0であるから、x+1x + 1を因数に持つ。
組み立て除法を行うと
```
-1 | 1 0 -7 -6
| -1 1 6
----------------
1 -1 -6 0
```
よって、x3−7x−6=(x+1)(x2−x−6)x^3 - 7x - 6 = (x + 1)(x^2 - x - 6)
さらに、x2−x−6=(x−3)(x+2)x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
したがって、x3−7x−6=(x+1)(x−3)(x+2)x^3 - 7x - 6 = (x + 1)(x - 3)(x + 2)
(3) 2x3+x2−8x−42x^3 + x^2 - 8x - 4
P(x)=2x3+x2−8x−4P(x) = 2x^3 + x^2 - 8x - 4とおく。
P(2)=16+4−16−4=0P(2) = 16 + 4 - 16 - 4 = 0であるから、x−2x - 2を因数に持つ。
組み立て除法を行うと
```
2 | 2 1 -8 -4
| 4 10 4
----------------
2 5 2 0
```
よって、2x3+x2−8x−4=(x−2)(2x2+5x+2)2x^3 + x^2 - 8x - 4 = (x - 2)(2x^2 + 5x + 2)
さらに、2x2+5x+2=(2x+1)(x+2)2x^2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)
したがって、2x3+x2−8x−4=(x−2)(2x+1)(x+2)2x^3 + x^2 - 8x - 4 = (x - 2)(2x + 1)(x + 2)
(4) 10x3−13x2−15x+1810x^3 - 13x^2 - 15x + 18
P(x)=10x3−13x2−15x+18P(x) = 10x^3 - 13x^2 - 15x + 18とおく。
P(1.5)=P(3/2)=10(27/8)−13(9/4)−15(3/2)+18=(135/4)−(117/4)−(90/4)+(72/4)=0P(1.5) = P(3/2) = 10(27/8) - 13(9/4) - 15(3/2) + 18 = (135/4) - (117/4) - (90/4) + (72/4) = 0であるから、x−3/2x - 3/2つまり2x−32x-3を因数に持つ。
組み立て除法を行うと
```
3/2 | 10 -13 -15 18
| 15 3 -18
-------------------
10 2 -12 0
```
よって、10x3−13x2−15x+18=(x−3/2)(10x2+2x−12)=(2x−3)(5x2+x−6)10x^3 - 13x^2 - 15x + 18 = (x - 3/2)(10x^2 + 2x - 12) = (2x - 3)(5x^2 + x - 6)
さらに、5x2+x−6=(5x+6)(x−1)5x^2 + x - 6 = (5x + 6)(x - 1)
したがって、10x3−13x2−15x+18=(2x−3)(5x+6)(x−1)10x^3 - 13x^2 - 15x + 18 = (2x - 3)(5x + 6)(x - 1)
(5) x3+3x2+3x+2x^3 + 3x^2 + 3x + 2
P(x)=x3+3x2+3x+2P(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2とおく。
P(−2)=−8+12−6+2=0P(-2) = -8 + 12 - 6 + 2 = 0であるから、x+2x + 2を因数に持つ。
組み立て除法を行うと
```
-2 | 1 3 3 2
| -2 -2 -2
----------------
1 1 1 0
```
よって、x3+3x2+3x+2=(x+2)(x2+x+1)x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x^2 + x + 1)
x2+x+1x^2 + x + 1は実数の範囲で因数分解できない。
したがって、x3+3x2+3x+2=(x+2)(x2+x+1)x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x^2 + x + 1)
(6) x4−4x3+10x2−17x+10x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10
P(x)=x4−4x3+10x2−17x+10P(x) = x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10とおく。
P(1)=1−4+10−17+10=0P(1) = 1 - 4 + 10 - 17 + 10 = 0であるから、x−1x - 1を因数に持つ。
組み立て除法を行うと
```
1 | 1 -4 10 -17 10
| 1 -3 7 -10
--------------------
1 -3 7 -10 0
```
x4−4x3+10x2−17x+10=(x−1)(x3−3x2+7x−10)x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10 = (x - 1)(x^3 - 3x^2 + 7x - 10)
Q(x)=x3−3x2+7x−10Q(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 10とおく。
Q(2)=8−12+14−10=0Q(2) = 8 - 12 + 14 - 10 = 0であるから、x−2x - 2を因数に持つ。
組み立て除法を行うと
```
2 | 1 -3 7 -10
| 2 -2 10
----------------
1 -1 5 0
```
x3−3x2+7x−10=(x−2)(x2−x+5)x^3 - 3x^2 + 7x - 10 = (x - 2)(x^2 - x + 5)
x2−x+5x^2 - x + 5は実数の範囲で因数分解できない。
したがって、x4−4x3+10x2−17x+10=(x−1)(x−2)(x2−x+5)x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10 = (x - 1)(x - 2)(x^2 - x + 5)
(7) 9x4+24x3+13x2−10x−89x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8
P(x)=9x4+24x3+13x2−10x−8P(x) = 9x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8とおく。
P(−1)=9−24+13+10−8=0P(-1) = 9 - 24 + 13 + 10 - 8 = 0であるから、x+1x + 1を因数に持つ。
組み立て除法を行うと
```
-1 | 9 24 13 -10 -8
| -9 -15 2 -8
-------------------
9 15 -2 -8 0
```
9x4+24x3+13x2−10x−8=(x+1)(9x3+15x2−2x−8)9x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8 = (x + 1)(9x^3 + 15x^2 - 2x - 8)
Q(x)=9x3+15x2−2x−8Q(x) = 9x^3 + 15x^2 - 2x - 8とおく。
Q(−2)=9(−8)+15(4)+4−8=−72+60+4−8=−16≠0Q(-2) = 9(-8) + 15(4) + 4 - 8 = -72 + 60 + 4 - 8 = -16 \neq 0
Q(2/3)=9(8/27)+15(4/9)−2(2/3)−8=8/3+20/3−4/3−24/3=0Q(2/3) = 9(8/27) + 15(4/9) - 2(2/3) - 8 = 8/3 + 20/3 - 4/3 - 24/3 = 0
よって、x−2/3x - 2/3つまり3x−23x - 2を因数に持つ。
組み立て除法を行うと
```
2/3 | 9 15 -2 -8
| 6 14 8
----------------
9 21 12 0
```
9x3+15x2−2x−8=(x−2/3)(9x2+21x+12)=(3x−2)(3x2+7x+4)=(3x−2)(3x+4)(x+1)9x^3 + 15x^2 - 2x - 8 = (x - 2/3)(9x^2 + 21x + 12) = (3x - 2)(3x^2 + 7x + 4) = (3x - 2)(3x + 4)(x + 1)
したがって、9x4+24x3+13x2−10x−8=(x+1)(3x−2)(3x+4)(x+1)=(x+1)2(3x−2)(3x+4)9x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8 = (x + 1)(3x - 2)(3x + 4)(x + 1) = (x + 1)^2(3x - 2)(3x + 4)
(8) x4−x3−x+1x^4 - x^3 - x + 1
P(x)=x4−x3−x+1P(x) = x^4 - x^3 - x + 1とおく。
P(1)=1−1−1+1=0P(1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0であるから、x−1x - 1を因数に持つ。
組み立て除法を行うと
```
1 | 1 -1 0 -1 1
| 1 0 0 -1
---------------
1 0 0 -1 0
```
x4−x3−x+1=(x−1)(x3−1)=(x−1)(x−1)(x2+x+1)=(x−1)2(x2+x+1)x^4 - x^3 - x + 1 = (x - 1)(x^3 - 1) = (x - 1)(x - 1)(x^2 + x + 1) = (x - 1)^2(x^2 + x + 1)
x2+x+1x^2 + x + 1は実数の範囲で因数分解できない。
したがって、x4−x3−x+1=(x−1)2(x2+x+1)x^4 - x^3 - x + 1 = (x - 1)^2(x^2 + x + 1)

3. 最終的な答え

(1) (x−1)(x−2)(x−5)(x - 1)(x - 2)(x - 5)
(2) (x+1)(x−3)(x+2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)
(3) (x−2)(2x+1)(x+2)(x - 2)(2x + 1)(x + 2)
(4) (2x−3)(5x+6)(x−1)(2x - 3)(5x + 6)(x - 1)
(5) (x+2)(x2+x+1)(x + 2)(x^2 + x + 1)
(6) (x−1)(x−2)(x2−x+5)(x - 1)(x - 2)(x^2 - x + 5)
(7) (x+1)2(3x−2)(3x+4)(x + 1)^2(3x - 2)(3x + 4)
(8) (x−1)2(x2+x+1)(x - 1)^2(x^2 + x + 1)

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