与えられた集合の等式 $(A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた集合の等式

$(A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$

が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

左辺と右辺が等しいことを証明するために、分配法則や結合法則などの集合演算の法則を適用して、両辺を簡略化していきます。

まず、左辺$(A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (B \cup C)$を変形します。

$(A \cup B) \cap (A \cup C)$に分配法則を適用すると、

$(A \cup B) \cap (A \cup C) = A \cup (B \cap C)$となります。

したがって、

$(A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (B \cup C) = (A \cup (B \cap C)) \cap (B \cup C)$となります。

さらに分配法則を適用すると、

$(A \cup (B \cap C)) \cap (B \cup C) = (A \cap (B \cup C)) \cup ((B \cap C) \cap (B \cup C))$

となります。

ここで、$(B \cap C) \cap (B \cup C) = (B \cap C)$なので、

$(A \cap (B \cup C)) \cup (B \cap C)$となります。

さらに、分配法則を適用すると、

$(A \cap (B \cup C)) \cup (B \cap C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$となります。

次に、右辺$(A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$はすでに簡略化されている形です。

したがって、左辺を変形した結果と右辺を比較すると、

$(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C) = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$

となり、等式が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

$(A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$