2次方程式 $x^2 - 2(m-3)x + 4m = 0$ が異符号の解を持つような、定数 $m$ の値の範囲を求めます。グラフの考え方は使用しません。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m-3)x + 4m = 0$ が異符号の解を持つような、定数 $m$ の値の範囲を求めます。グラフの考え方は使用しません。

2. 解き方の手順

2次方程式が異符号の解を持つ条件は、以下の2点です。

* 異なる2つの実数解を持つこと

* 2つの解の積が負になること

まず、2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を考えます。判別式 $D$ が正である必要があります。

$D = \{ -2(m-3) \}^2 - 4(1)(4m) > 0$

$4(m^2 - 6m + 9) - 16m > 0$

$4m^2 - 24m + 36 - 16m > 0$

$4m^2 - 40m + 36 > 0$

$m^2 - 10m + 9 > 0$

$(m - 1)(m - 9) > 0$

したがって、$m < 1$ または $m > 9$。

次に、2つの解の積が負になる条件を考えます。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の積は $\frac{c}{a}$ です。この問題では、解の積が $\frac{4m}{1} = 4m$ ですから、$4m < 0$ でなければなりません。

$4m < 0$

$m < 0$

以上の2つの条件を満たす $m$ の範囲を求めます。$m < 1$ または $m > 9$ であり、かつ $m < 0$ である必要があります。したがって、$m < 0$。

3. 最終的な答え

$m < 0$