A, A, A, B, B, C, D, E の8文字について、以下の問いに答える。 (1) 8文字すべてを横一列に並べるときの並べ方の総数を求める。 (2) (1)のうち、CがDより左にあり、DがEより左にあるような並べ方の数を求める。 (3) 8文字から4文字を取り出して並べるとき、文字の種類が2種類であるような並べ方の数を求める。 (4) 8文字から4文字を取り出して並べるとき、すべての並べ方の数を求める。 (5) 8文字から4文字を取り出して並べるとき、同じ文字が隣り合わないような並べ方の数を求める。

1. 問題の内容

A, A, A, B, B, C, D, E の8文字について、以下の問いに答える。

(1) 8文字すべてを横一列に並べるときの並べ方の総数を求める。

(2) (1)のうち、CがDより左にあり、DがEより左にあるような並べ方の数を求める。

(3) 8文字から4文字を取り出して並べるとき、文字の種類が2種類であるような並べ方の数を求める。

(4) 8文字から4文字を取り出して並べるとき、すべての並べ方の数を求める。

(5) 8文字から4文字を取り出して並べるとき、同じ文字が隣り合わないような並べ方の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 8文字の並べ方の総数

Aが3個、Bが2個あるので、同じものを含む順列の公式を用いる。

総数は $\frac{8!}{3!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 3360$ 通り。

(2) C, D, Eの並び順がC, D, Eであるものの数

8文字の並べ方の総数から、C, D, Eの並び順を考慮する必要がある。C, D, Eの並び方は3! = 6通りあるが、C, D, Eがこの順に並んでいるのはそのうちの1通りである。

したがって、求める並べ方の数は $\frac{3360}{6} = 560$ 通り。

(3) 文字の種類が2種類であるような並べ方

(i) Aを3つ含む場合:

Aを3つと、残り5文字(B, B, C, D, E)から1文字選ぶ。

選ぶ文字がBの場合、並べ方は $\frac{4!}{3!} = 4$ 通り。

選ぶ文字がC, D, Eの場合、並べ方はそれぞれ $\frac{4!}{3!} = 4$ 通り。

したがって、 $4+4+4 = 12$ 通り。

(ii) Aを2つ含む場合:

Aを2つと、Bを2つ選ぶ場合、並べ方は $\frac{4!}{2!2!} = 6$ 通り。

Aを2つと、Bと残り3文字から1文字ずつ選ぶ場合(C, D, E)、並べ方は $3 \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 12 = 36$ 通り。

(iii) Aを1つ含む場合:

Aを1つと、Bを3つ選ぶことはできない(Bは2つまでしかない)。

Aを含まず、Bを2つ含む2種類の文字を選ぶことはできない。

(iv) Aを含まない場合:

B, C, D, Eから2種類を選ぶ並べ方は ${}_4C_2 \times 2^4 - {}_4C_2 \times 2 = 6 \times (16 - 2) = 6 \times 14 = 84$.これはあり得ない。

4文字のうち2種類を選ぶので、

- Aが３つの場合、残りの１つはB, C, D, Eのいずれかである。並べ方は $\frac{4!}{3!} \times 4 = 4 \times 4 = 16$

- Aが２つの場合、残りの２つはBである。 並べ方は $\frac{4!}{2!2!} = 6$

- Aが１つの場合、残りの３つはB, C, D, Eから選ぶことはできない。

- Aがない場合、Bを２つ選ぶことはできない。

Aを３つ含む並べ方は16通り。

Aを２つ含み、残りがBである並べ方は$\frac{4!}{2!2!}=6$通り。

Bが２つ含まれる場合を考える。残りの２文字はC, D, Eから選ぶことはできない。

よって合計は $16+6 = 22$. これは異なる。

（3）

2種類の文字を選ぶのは

(i)AとB: $\frac{4!}{a!b!}$ a+b=4

(ii)AとC:

(iii)AとD:

(iv)AとE:

(v)BとC:

(vi)BとD:

(vii)BとE:

(viii)CとD:

(ix)CとE:

(x)DとE:

の場合がある。

文字が２種類ということは、4文字の選び方が2種類ということです。つまりAAAはありえない。

AAAB,AAAC,AAAD,AAAE,AABB,AABC,AABD,AABE,AACC,AACD,AACE,AADD,AADE,AAEE

BBCC,BBCD,BBCE,BBDE

CCDD,CCDE,CDEE

DDEE

４種類のうち、２種類を選ぶ選び方は $\binom{4}{2}=6$通り。

AAAがある場合。4C1=4。４通り

AABがある場合。

ABと他２つ

AABC,AABD,AABE

BB,C,D,E.

AABB:

(4) 4文字の選び方

${}_8P_4 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$

ただし、同じ文字を含むため、重複を割る。

(5) 同じ文字が隣り合わないような並べ方

3. 最終的な答え

(1) 3360

(2) 560

(3) 　

(4) 　

(5)