5つの数字 0, 1, 2, 3, 4 から重複を許して4桁の整数を作る問題です。ただし、千の位に0は使用できません。以下の3つの問いに答えます。 (1) 作れる整数の総数を求めます。 (2) 少なくとも1つの位に1が含まれる整数の数を求めます。 (3) 少なくとも1つの位に1または2が含まれる整数の数を求めます。

1. 問題の内容

5つの数字 0, 1, 2, 3, 4 から重複を許して4桁の整数を作る問題です。ただし、千の位に0は使用できません。以下の3つの問いに答えます。

(1) 作れる整数の総数を求めます。

(2) 少なくとも1つの位に1が含まれる整数の数を求めます。

(3) 少なくとも1つの位に1または2が含まれる整数の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 整数の総数

千の位には0以外の4つの数字（1, 2, 3, 4）のいずれかを選ぶことができます。百の位、十の位、一の位には、0, 1, 2, 3, 4の5つの数字のいずれかを選ぶことができます。したがって、作れる整数の総数は、

$4 \times 5 \times 5 \times 5 = 500$ 個

(2) 少なくとも1つの位に1が含まれる整数

まず、1が全く含まれない整数を考えます。

千の位には、0, 1を除く3つの数字（2, 3, 4）のいずれかを選ぶことができます。百の位、十の位、一の位には、1を除く4つの数字（0, 2, 3, 4）のいずれかを選ぶことができます。したがって、1が全く含まれない整数の総数は、

$3 \times 4 \times 4 \times 4 = 192$ 個

全体の整数の数から1が全く含まれない整数の数を引くと、少なくとも1つの位に1が含まれる整数の数を求めることができます。

$500 - 192 = 308$ 個

(3) 少なくとも1つの位に1または2が含まれる整数

まず、1も2も含まれない整数を考えます。

千の位には、0, 1, 2を除く2つの数字（3, 4）のいずれかを選ぶことができます。百の位、十の位、一の位には、1, 2を除く3つの数字（0, 3, 4）のいずれかを選ぶことができます。したがって、1も2も全く含まれない整数の総数は、

$2 \times 3 \times 3 \times 3 = 54$ 個

全体の整数の数から1も2も全く含まれない整数の数を引くと、少なくとも1つの位に1または2が含まれる整数の数を求めることができます。

$500 - 54 = 446$ 個

3. 最終的な答え

(1) 500個

(2) 308個

(3) 446個