与えられた関数 $z$ を、$x$ と $y$ それぞれで偏微分する問題です。具体的には以下の関数について、$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めます。 (a) $z = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ (b) $z = (xy^2 + x^2y)^2$ (c) $z = \log(xy)$ (d) $z = \cos(-x^3y^2 + y)$ (e) $z = \tan\left(\frac{x}{y}\right)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $z$ を、$x$ と $y$ それぞれで偏微分する問題です。具体的には以下の関数について、$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めます。

(a) $z = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

(b) $z = (xy^2 + x^2y)^2$

(c) $z = \log(xy)$

(d) $z = \cos(-x^3y^2 + y)$

(e) $z = \tan\left(\frac{x}{y}\right)$

2. 解き方の手順

(a) $z = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

* $\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして、$x$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 6xy + 3y^2$

* $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして、$y$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = -3x^2 + 6xy - 3y^2$

(b) $z = (xy^2 + x^2y)^2$

* $\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして、$x$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2(xy^2 + x^2y)(y^2 + 2xy) = 2(xy^2 + x^2y)(y^2 + 2xy) = 2(xy^4 + 2x^2y^3 + x^3y^2 + x^2y^3 + 2x^3y^2 + x^4y) = 2(xy^4 + 3x^2y^3 + 3x^3y^2 + x^4y)$

* $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして、$y$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2(xy^2 + x^2y)(2xy + x^2) = 2(2x^2y^3 + x^3y^2 + 2x^3y^2 + x^4y) = 2(2x^2y^3 + 3x^3y^2 + x^4y)$

(c) $z = \log(xy)$

* $\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして、$x$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x}$

* $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして、$y$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{xy} \cdot x = \frac{1}{y}$

(d) $z = \cos(-x^3y^2 + y)$

* $\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして、$x$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(-x^3y^2 + y) \cdot (-3x^2y^2) = 3x^2y^2 \sin(-x^3y^2 + y)$

* $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして、$y$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(-x^3y^2 + y) \cdot (-2x^3y + 1) = (2x^3y - 1) \sin(-x^3y^2 + y)$

(e) $z = \tan\left(\frac{x}{y}\right)$

* $\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして、$x$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{y}\right)} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{y\cos^2\left(\frac{x}{y}\right)}$

* $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして、$y$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{y}\right)} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{y^2\cos^2\left(\frac{x}{y}\right)}$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 6xy + 3y^2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -3x^2 + 6xy - 3y^2$

(b) $\frac{\partial z}{\partial x} = 2(xy^4 + 3x^2y^3 + 3x^3y^2 + x^4y)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2(2x^2y^3 + 3x^3y^2 + x^4y)$

(c) $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{y}$

(d) $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y^2 \sin(-x^3y^2 + y)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = (2x^3y - 1) \sin(-x^3y^2 + y)$

(e) $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y\cos^2\left(\frac{x}{y}\right)}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2\cos^2\left(\frac{x}{y}\right)}$