図のような道のある地域で、A地点からB地点まで最短の道順について、以下の3つの場合について、その道順の総数を求める問題です。 (1) AからBまで行く。 (2) AからCを通ってBまで行く。 (3) AからCを通らずにBまで行く。

1. 問題の内容

図のような道のある地域で、A地点からB地点まで最短の道順について、以下の3つの場合について、その道順の総数を求める問題です。

(1) AからBまで行く。

(2) AからCを通ってBまで行く。

(3) AからCを通らずにBまで行く。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く場合

AからBまでの最短経路は、右に5回、上に3回進むことで到達できます。これは、合計8回の移動のうち、右に進む5回を選ぶ組み合わせの数で求められます。

組み合わせの計算式は、${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$です。

この場合、$n=8$、$r=5$ (または $r=3$でも同じ) なので、

${}_8 C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(2) AからCを通ってBまで行く場合

AからCまでの最短経路と、CからBまでの最短経路の数をそれぞれ計算し、掛け合わせます。

AからCまでは、右に2回、上に1回進む必要があります。

${}_3 C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3$

CからBまでは、右に3回、上に2回進む必要があります。

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、AからCを通ってBまで行く経路は $3 \times 10 = 30$ 通りです。

(3) AからCを通らずにBまで行く場合

AからBまでのすべての経路から、AからCを通ってBまで行く経路の数を引けば、AからCを通らずにBまで行く経路の数が求められます。

AからBまでの経路は56通り、AからCを通ってBまで行く経路は30通りなので、AからCを通らずにBまで行く経路は $56 - 30 = 26$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く経路は 56 通り

(2) AからCを通ってBまで行く経路は 30 通り

(3) AからCを通らずにBまで行く経路は 26 通り