全体集合 $U$ において、要素数が $n(U)=60$、集合 $A, B, C$ の要素数がそれぞれ $n(A)=16, n(B)=22, n(C)=20$ であり、$n(A \cap B)=3, n(B \cap C)=4, n(C \cap A)=6, n(A \cap B \cap C)=1$ である。このとき、$n(A \cup B \cup C)$ と $n(\overline{A \cup B \cup C})$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ において、要素数が $n(U)=60$、集合 $A, B, C$ の要素数がそれぞれ $n(A)=16, n(B)=22, n(C)=20$ であり、$n(A \cap B)=3, n(B \cap C)=4, n(C \cap A)=6, n(A \cap B \cap C)=1$ である。このとき、$n(A \cup B \cup C)$ と $n(\overline{A \cup B \cup C})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $n(A \cup B \cup C)$ を求める。

$A \cup B \cup C$ の要素数を求めるには、包含と排除の原理を用いる。

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

与えられた値を代入すると、

$n(A \cup B \cup C) = 16 + 22 + 20 - 3 - 4 - 6 + 1$

$n(A \cup B \cup C) = 56 - 13 + 1 = 43 + 1 = 46$

(2) $n(\overline{A \cup B \cup C})$ を求める。

$\overline{A \cup B \cup C}$ は $A \cup B \cup C$ の補集合であるから、

$n(\overline{A \cup B \cup C}) = n(U) - n(A \cup B \cup C)$

$n(U) = 60$ であり、$n(A \cup B \cup C) = 46$ であるから、

$n(\overline{A \cup B \cup C}) = 60 - 46 = 14$

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cup B \cup C) = 46$

(2) $n(\overline{A \cup B \cup C}) = 14$