三角形ABCにおいて、$AB = 4$, $AC = 5$, $\angle BAC = 120^\circ$である。$\angle BAC$の二等分線と辺BCとの交点をDとする。このとき、$AD$と$BD$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 4$, $AC = 5$, $\angle BAC = 120^\circ$である。$\angle BAC$の二等分線と辺BCとの交点をDとする。このとき、$AD$と$BD$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、BCの長さを余弦定理を用いて求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$BC^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos{120^\circ}$

$BC^2 = 16 + 25 - 40 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BC^2 = 41 + 20 = 61$

$BC = \sqrt{61}$

次に、角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 4:5$

したがって、$BD = \frac{4}{4+5} BC = \frac{4}{9} \sqrt{61} = \frac{4\sqrt{61}}{9}$

$BD = \frac{4\sqrt{61}}{9}$ より、エ = 4、オカ = 61、キ = 9

次に、$\triangle ABD$の面積を2通りで表すことを考える。

$\triangle ABD = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin{60^\circ}$

$\triangle ADC = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin{60^\circ}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ADC$

$5\sqrt{3} = \frac{1}{2} AD \cdot \sin{60^\circ} (AB+AC)$

$5\sqrt{3} = \frac{1}{2} AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} (4+5)$

$5\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{4} AD$

$AD = \frac{5 \sqrt{3} \cdot 4}{9 \sqrt{3}} = \frac{20}{9}$

$AD = \frac{20}{9}$より、アイ = 20、ウ = 9

3. 最終的な答え

$AD = \frac{20}{9}$

$BD = \frac{4\sqrt{61}}{9}$