平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを1:2に内分する点をEとする。直線AEと対角線BDの交点をF、直線AEと直線CDの交点をGとする。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$とするとき、ベクトル$\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AF}$, $\overrightarrow{AG}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを1:2に内分する点をEとする。直線AEと対角線BDの交点をF、直線AEと直線CDの交点をGとする。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$とするとき、ベクトル$\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AF}$, $\overrightarrow{AG}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AE}$を求める。

点Eは辺BCを1:2に内分するので、$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$となる。

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

ここで、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$なので、

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

(2) $\overrightarrow{AF}$を求める。

点Fは直線AE上にあるので、実数$s$を用いて$\overrightarrow{AF} = s\overrightarrow{AE} = s(\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}) = s\overrightarrow{a} + \frac{s}{3}\overrightarrow{b}$と表せる。

また、点Fは直線BD上にあるので、実数$t$を用いて$\overrightarrow{AF} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AD} = (1-t)\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}$と表せる。

したがって、$s\overrightarrow{a} + \frac{s}{3}\overrightarrow{b} = (1-t)\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}$である。$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は一次独立なので、

$s = 1-t$かつ$\frac{s}{3} = t$

これを解くと、$s = 1 - \frac{s}{3}$より$\frac{4}{3}s = 1$なので、$s = \frac{3}{4}$。

よって、$\overrightarrow{AF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$

(3) $\overrightarrow{AG}$を求める。

点Gは直線AE上にあるので、実数$u$を用いて$\overrightarrow{AG} = u\overrightarrow{AE} = u(\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}) = u\overrightarrow{a} + \frac{u}{3}\overrightarrow{b}$と表せる。

また、点Gは直線CD上にあるので、$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DG}$となる。

$\overrightarrow{DG} = k\overrightarrow{DC}$ (kは実数)とすると、$\overrightarrow{DG} = -k\overrightarrow{AB} = -k\overrightarrow{a}$

したがって、$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{b} - k\overrightarrow{a}$

$u\overrightarrow{a} + \frac{u}{3}\overrightarrow{b} = -k\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は一次独立なので、$u = -k$かつ$\frac{u}{3} = 1$

よって、$u = 3$なので、$\overrightarrow{AG} = 3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{AF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{AG} = 3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$