$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることを思い出します。$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ なので、$\sin \theta = -\frac{1}{2} \cos \theta$ となります。

次に、三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

$\sin \theta = -\frac{1}{2} \cos \theta$ を代入すると、

$(-\frac{1}{2} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{4} \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{5}{4} \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{4}{5}$

したがって、$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$ となります。

$\theta$ は第4象限にあるので、$\cos \theta > 0$ である必要があります。よって、$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ です。

次に、$\sin \theta$ を求めます。$\sin \theta = -\frac{1}{2} \cos \theta$ なので、

$\sin \theta = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$