三角形 ABC に関する問題で、外接円の半径 R を求めたり、辺の長さを求めたりする問題です。 (1) $BC = 6$, $A = 135^\circ$ のとき、外接円の半径 $R$ を求めます。 (2) $AC = 3$, $B = 45^\circ$, $C = 60^\circ$ のとき、$AB$ の長さを求めます。 (3) $BC = 4$, $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$ のとき、$AC$ の長さを求めます。 (4) $AC = 3$, $AB = 8$, $A = 60^\circ$ のとき、$BC$ の長さを求めます。

1. 問題の内容

三角形 ABC に関する問題で、外接円の半径 R を求めたり、辺の長さを求めたりする問題です。

(1) $BC = 6$, $A = 135^\circ$ のとき、外接円の半径 $R$ を求めます。

(2) $AC = 3$, $B = 45^\circ$, $C = 60^\circ$ のとき、$AB$ の長さを求めます。

(3) $BC = 4$, $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$ のとき、$AC$ の長さを求めます。

(4) $AC = 3$, $AB = 8$, $A = 60^\circ$ のとき、$BC$ の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、 $\frac{BC}{\sin A} = 2R$ が成り立ちます。

$BC = 6$ 、 $A = 135^\circ$ であるから、

$2R = \frac{6}{\sin 135^\circ} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$

$R = 3\sqrt{2}$

(2) まず、三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$A = 180^\circ - (B + C) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$ です。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$ が成り立ちます。

$AC = 3$, $B = 45^\circ$, $C = 60^\circ$ であるから、

$\frac{3}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 60^\circ}$

$AB = \frac{3 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$

(3) まず、三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - (60^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$ です。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$ が成り立ちます。

$BC = 4$, $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$ であるから、

$\frac{4}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ}$

$AC = \frac{4 \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{4 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

(4) 余弦定理より、$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 AC \cdot AB \cos A$ が成り立ちます。

$AC = 3$, $AB = 8$, $A = 60^\circ$ であるから、

$BC^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \times 3 \times 8 \cos 60^\circ = 9 + 64 - 48 \times \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49$

$BC = \sqrt{49} = 7$

3. 最終的な答え

(1) $R = 3\sqrt{2}$

(2) $AB = \frac{3\sqrt{6}}{2}$

(3) $AC = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

(4) $BC = 7$