三角形ABCが半径 $\frac{2\sqrt{14}}{7}$ の円に内接している。$\cos \angle BAC = -\frac{\sqrt{2}}{4}$ であり、$AC = 1$ である。このとき、$\sin \angle BAC$、BC、$\sin \angle ABC$、$\cos \angle ABC$、ABの値を求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

三角形ABCが半径 $\frac{2\sqrt{14}}{7}$ の円に内接している。$\cos \angle BAC = -\frac{\sqrt{2}}{4}$ であり、$AC = 1$ である。このとき、$\sin \angle BAC$、BC、$\sin \angle ABC$、$\cos \angle ABC$、ABの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \angle BAC$ を求める。

$\sin^2 \angle BAC + \cos^2 \angle BAC = 1$ より、

$\sin^2 \angle BAC = 1 - \cos^2 \angle BAC = 1 - (-\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

$\angle BAC$ は三角形の内角なので、$\sin \angle BAC > 0$。したがって、

$\sin \angle BAC = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$

(2) BCを求める。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$。ここで、$R = \frac{2\sqrt{14}}{7}$ は外接円の半径である。

$BC = 2R \sin \angle BAC = 2(\frac{2\sqrt{14}}{7})(\frac{\sqrt{14}}{4}) = \frac{4 \times 14}{7 \times 4} = \frac{14}{7} = 2$

よって、$BC = 2$。

(3) $\sin \angle ABC$ を求める。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$。$AC = 1$ より、

$\sin \angle ABC = \frac{AC}{2R} = \frac{1}{2(\frac{2\sqrt{14}}{7})} = \frac{1}{\frac{4\sqrt{14}}{7}} = \frac{7}{4\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{4 \times 14} = \frac{\sqrt{14}}{8}$

(4) $\cos \angle ABC$ を求める。

$\sin^2 \angle ABC + \cos^2 \angle ABC = 1$ より、

$\cos^2 \angle ABC = 1 - \sin^2 \angle ABC = 1 - (\frac{\sqrt{14}}{8})^2 = 1 - \frac{14}{64} = 1 - \frac{7}{32} = \frac{25}{32}$

$\cos \angle ABC = \pm \sqrt{\frac{25}{32}} = \pm \frac{5}{4\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{8}$

ここで、$\angle BAC$ は鈍角なので、$\angle ABC$ は鋭角である可能性もある。$\angle ABC$ が鋭角なら$\cos \angle ABC > 0$, $\angle ABC$ が鈍角なら$\cos \angle ABC < 0$.

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos \angle ABC$

$1^2 = AB^2 + 2^2 - 2AB \cdot 2 \cos \angle ABC$

$1 = AB^2 + 4 - 4AB \cos \angle ABC$

$AB^2 - 4AB \cos \angle ABC + 3 = 0$

(5) ABを求める。

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos \angle BAC$

$2^2 = AB^2 + 1^2 - 2AB \cdot 1 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{4})$

$4 = AB^2 + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} AB$

$AB^2 + \frac{\sqrt{2}}{2} AB - 3 = 0$

$AB = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 4(-3)}}{2} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{2}{4} + 12}}{2} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2} + 12}}{2} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{2}}}{2} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}}{2}$

$AB = \frac{4\sqrt{2}/2}{2}$ または $\frac{-6\sqrt{2}/2}{2}$.

$AB = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ または $AB = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$. 長さなので$AB$は正の値である。よって、

$AB = \sqrt{2}$.

$AB = \sqrt{2}$を $AB^2 - 4AB \cos \angle ABC + 3 = 0$ に代入すると

$(\sqrt{2})^2 - 4\sqrt{2} \cos \angle ABC + 3 = 0$

$2 - 4\sqrt{2} \cos \angle ABC + 3 = 0$

$5 - 4\sqrt{2} \cos \angle ABC = 0$

$4\sqrt{2} \cos \angle ABC = 5$

$\cos \angle ABC = \frac{5}{4\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

3. 最終的な答え

$\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{14}}{4}$

$BC = 2$

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{14}}{8}$

$\cos \angle ABC = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

$AB = \sqrt{2}$