与えられた集合 $A$ の部分集合全体の集合（べき集合）を求める問題です。 (1) $A = \{2, 3\}$ (2) $A = \{2\}$ (3) $A = \{x, y, z\}$ (4) $A = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\}$

1. 問題の内容

与えられた集合 $A$ の部分集合全体の集合（べき集合）を求める問題です。

(1) $A = \{2, 3\}$

(2) $A = \{2\}$

(3) $A = \{x, y, z\}$

(4) $A = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\}$

2. 解き方の手順

集合 $A$ の部分集合をすべて列挙し、それらを要素とする集合を作ります。空集合 $\emptyset$ と $A$ 自身も部分集合に含まれることに注意します。

(1) $A = \{2, 3\}$の場合

部分集合は、$\emptyset$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{2, 3\}$ の4つです。したがって、べき集合は $\{\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\}\}$ となります。

(2) $A = \{2\}$の場合

部分集合は、$\emptyset$, $\{2\}$ の2つです。したがって、べき集合は $\{\emptyset, \{2\}\}$ となります。

(3) $A = \{x, y, z\}$の場合

部分集合は、$\emptyset$, $\{x\}$, $\{y\}$, $\{z\}$, $\{x, y\}$, $\{x, z\}$, $\{y, z\}$, $\{x, y, z\}$ の8つです。したがって、べき集合は $\{\emptyset, \{x\}, \{y\}, \{z\}, \{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x, y, z\}\}$ となります。

(4) $A = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\}$の場合

部分集合は、$\emptyset$, $\{(1, a)\}$, $\{(1, b)\}$, $\{(2, a)\}$, $\{(2, b)\}$, $\{(1, a), (1, b)\}$, $\{(1, a), (2, a)\}$, $\{(1, a), (2, b)\}$, $\{(1, b), (2, a)\}$, $\{(1, b), (2, b)\}$, $\{(2, a), (2, b)\}$, $\{(1, a), (1, b), (2, a)\}$, $\{(1, a), (1, b), (2, b)\}$, $\{(1, a), (2, a), (2, b)\}$, $\{(1, b), (2, a), (2, b)\}$, $\{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\}$ の16個です。

したがって、べき集合は

$\{\emptyset, \{(1, a)\}, \{(1, b)\}, \{(2, a)\}, \{(2, b)\}, \{(1, a), (1, b)\}, \{(1, a), (2, a)\}, \{(1, a), (2, b)\}, \{(1, b), (2, a)\}, \{(1, b), (2, b)\}, \{(2, a), (2, b)\}, \{(1, a), (1, b), (2, a)\}, \{(1, a), (1, b), (2, b)\}, \{(1, a), (2, a), (2, b)\}, \{(1, b), (2, a), (2, b)\}, \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\}\}$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\{\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\}\}$

(2) $\{\emptyset, \{2\}\}$

(3) $\{\emptyset, \{x\}, \{y\}, \{z\}, \{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x, y, z\}\}$

(4) $\{\emptyset, \{(1, a)\}, \{(1, b)\}, \{(2, a)\}, \{(2, b)\}, \{(1, a), (1, b)\}, \{(1, a), (2, a)\}, \{(1, a), (2, b)\}, \{(1, b), (2, a)\}, \{(1, b), (2, b)\}, \{(2, a), (2, b)\}, \{(1, a), (1, b), (2, a)\}, \{(1, a), (1, b), (2, b)\}, \{(1, a), (2, a), (2, b)\}, \{(1, b), (2, a), (2, b)\}, \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\}\}$