直線運動において、時刻 $t$ での速度を $v$ とします。$1/v$ と $t$ が線形関係にあるとき、加速度が速度の2乗に比例することを示してください。

1. 問題の内容

直線運動において、時刻 $t$ での速度を $v$ とします。$1/v$ と $t$ が線形関係にあるとき、加速度が速度の2乗に比例することを示してください。

2. 解き方の手順

$1/v$ と $t$ が線形関係にあるので、ある定数 $a$ と $b$ を用いて、

$$\frac{1}{v} = at + b$$

と書けます。

両辺を $t$ で微分すると、

$$-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} = a$$

となります。加速度 $A$ は速度 $v$ の時間微分 $\frac{dv}{dt}$ で定義されるので、$A = \frac{dv}{dt}$ を代入すると、

$$-\frac{1}{v^2} A = a$$

したがって、

$$A = -av^2$$

となります。ここで、$a$ は定数なので、加速度 $A$ は速度の2乗 $v^2$ に比例します。

3. 最終的な答え

加速度は速度の2乗に比例する。