x軸上を運動する物体の加速度が与えられており、以下の問いに答える。 (1) 時刻0s~3T[s]のv-tグラフを描け。 (2) 時刻0s~3T[s]の平均の速度を求めよ。 (3) 時刻0s~3T[s]の平均の加速度を求めよ。 (4) この物体が、原点から正の向きに最も遠ざかる時刻を求めよ。 (5) この物体が、原点に戻る時刻を求めよ。 ただし、時刻0sでの物体の位置は原点、速度は0とする。時刻3T[s]以降の加速度は-2a[m/s^2]である。

## 解答

1. 問題の内容

x軸上を運動する物体の加速度が与えられており、以下の問いに答える。

(1) 時刻0s~3T[s]のv-tグラフを描け。

(2) 時刻0s~3T[s]の平均の速度を求めよ。

(3) 時刻0s~3T[s]の平均の加速度を求めよ。

(4) この物体が、原点から正の向きに最も遠ざかる時刻を求めよ。

(5) この物体が、原点に戻る時刻を求めよ。

ただし、時刻0sでの物体の位置は原点、速度は0とする。時刻3T[s]以降の加速度は-2a[m/s^2]である。

2. 解き方の手順

(1) v-tグラフの描画

* 時刻0からTまで: 加速度はaなので、速度は等加速度運動で増加する。$v = at$より、時刻Tでの速度は$v_T = aT$となる。

* 時刻Tから3Tまで: 加速度は0なので、速度は一定。したがって、速度は$v_T = aT$のままとなる。

したがって、v-tグラフは、0からTまで傾きaの直線、Tから3Tまで$v=aT$の水平な直線となる。

(2) 平均の速度の計算

平均の速度は、変位を時間で割ったものである。

* 時刻0からTまでの変位は、v-tグラフの面積から求められる。$x_1 = \frac{1}{2} aT \cdot T = \frac{1}{2} aT^2$

* 時刻Tから3Tまでの変位は、$x_2 = aT \cdot (3T - T) = 2aT^2$

* 時刻0から3Tまでの変位は、$x = x_1 + x_2 = \frac{1}{2} aT^2 + 2aT^2 = \frac{5}{2} aT^2$

平均の速度は、 $\bar{v} = \frac{x}{3T} = \frac{\frac{5}{2} aT^2}{3T} = \frac{5}{6} aT$

(3) 平均の加速度の計算

平均の加速度は、速度の変化を時間で割ったものである。

* 時刻0での速度は0。

* 時刻3Tでの速度はaT。

平均の加速度は、$\bar{a} = \frac{aT - 0}{3T} = \frac{1}{3} a$

(4) 原点から最も遠ざかる時刻の計算

時刻3T以降、加速度が-2aとなる。

このとき、速度が0になる瞬間が、最も遠ざかる時刻である。

時刻3Tでの速度は$aT$。

時刻3T以降、$v = aT - 2a(t-3T)$

$v = 0$となる時刻を求める。

$0 = aT - 2a(t-3T)$

$2a(t-3T) = aT$

$2(t-3T) = T$

$2t - 6T = T$

$2t = 7T$

$t = \frac{7}{2} T$

(5) 原点に戻る時刻の計算

(4)で求めた時刻以降、物体は負の方向に運動し始める。

時刻$\frac{7}{2}T$での位置は、時刻0から$\frac{7}{2}T$までの変位を計算することで求める。

時刻0から3Tまでの変位は$\frac{5}{2}aT^2$。（(2)で計算済み）

時刻3Tから$\frac{7}{2}T$までの変位は、

$x_3 = aT(\frac{7}{2}T-3T) + \frac{1}{2}(-2a)(\frac{7}{2}T-3T)^2 = aT(\frac{1}{2}T) - a(\frac{1}{2}T)^2 = \frac{1}{2}aT^2 - \frac{1}{4}aT^2 = \frac{1}{4}aT^2$

したがって、時刻$\frac{7}{2}T$での位置は、$\frac{5}{2}aT^2 + \frac{1}{4}aT^2 = \frac{11}{4}aT^2$。

時刻$\frac{7}{2}T$以降、位置は$x = \frac{11}{4}aT^2 + 0 \cdot (t - \frac{7}{2}T) + \frac{1}{2}(-2a)(t - \frac{7}{2}T)^2$

原点に戻る時刻を求める。$x = 0$とすると

$0 = \frac{11}{4}aT^2 - a(t - \frac{7}{2}T)^2$

$(t - \frac{7}{2}T)^2 = \frac{11}{4}T^2$

$t - \frac{7}{2}T = \pm \frac{\sqrt{11}}{2}T$

$t = \frac{7 \pm \sqrt{11}}{2}T$

$t>\frac{7}{2}T$である必要があるので、$t = \frac{7 + \sqrt{11}}{2}T$

3. 最終的な答え

(1) v-tグラフ: 時刻0からTまで傾きaの直線、Tから3Tまで$v=aT$の水平な直線。

(2) 平均の速度: $\frac{5}{6} aT$

(3) 平均の加速度: $\frac{1}{3} a$

(4) 原点から最も遠ざかる時刻: $\frac{7}{2} T$

(5) 原点に戻る時刻: $\frac{7 + \sqrt{11}}{2}T$