直径 25mm の軸が 500rpm で 0.74kW の動力を伝達している。この軸に生じるせん断応力 $\tau$ と、軸 1m におけるねじれ角 $\theta$ を求める問題です。ただし、せん断弾性係数 $G$ は 81.4GPa とします。

1. 問題の内容

直径 25mm の軸が 500rpm で 0.74kW の動力を伝達している。この軸に生じるせん断応力 $\tau$ と、軸 1m におけるねじれ角 $\theta$ を求める問題です。ただし、せん断弾性係数 $G$ は 81.4GPa とします。

2. 解き方の手順

(1) トルク $T$ を計算する。

$T = 9.55 \times 10^6 \times \frac{L}{n}$ (単位は Nm)

ここで、$L = 0.74$ kW $= 0.74 \times 10^3$ W、 $n = 500$ rpm なので、

$T = 9.55 \times 10^6 \times \frac{0.74 \times 10^3}{500} = 9.55 \times 10^6 \times \frac{740}{500} = 9.55 \times 10^6 \times 1.48 = 14134000 Nm = 14.134 \times 10^6 Nm$

実際は、

$T = \frac{60L}{2 \pi n} = \frac{60 \times 0.74 \times 10^3}{2 \pi \times 500} = \frac{44400}{1000 \pi} = \frac{44.4}{\pi} \approx 14.13 Nm$

(2) せん断応力 $\tau$ を計算する。

$\tau = 5.09 \times \frac{T}{d^3}$ (単位は MPa)

ここで、$T = 14.13$ Nm $= 14.13 \times 10^3$ Nmm、 $d = 25$ mm なので、

$\tau = 5.09 \times \frac{14.13 \times 10^3}{25^3} = 5.09 \times \frac{14130}{15625} = 5.09 \times 0.90432 \approx 4.60$ MPa

(3) ねじれ角 $\theta$ を計算する。

テキストにはねじれ角の式が書いていません。単位に関する注意点には

1 GPa = $1 \times 10^3 N/mm^2$ であると書かれているので、単位系を N, mm, rad で統一して計算する必要があります。

$\theta = \frac{T l}{J G}$ (単位は rad)

ここで、 $T = 14.13 \times 10^3$ Nmm, $l = 1 m = 1000 mm$, $G = 81.4 GPa = 81.4 \times 10^3 N/mm^2$ です。

$J = \frac{\pi d^4}{32} = \frac{\pi \times 25^4}{32} = \frac{\pi \times 390625}{32} \approx 38349 mm^4$

$\theta = \frac{14.13 \times 10^3 \times 1000}{38349 \times 81.4 \times 10^3} = \frac{14.13 \times 10^6}{3121178.6 \times 10^3} = \frac{14.13}{3121.1786} = 0.004527 rad$

度数法で表すと、

$\theta = 0.004527 \times \frac{180}{\pi} = 0.004527 \times 57.2957795 = 0.259$ 度

3. 最終的な答え

せん断応力: 4.60 MPa

ねじれ角: 0.259 度