直径40mm、回転数500rpmの軸において、比ねじれ角0.25°/mを許容する場合に伝達可能な動力（kW）と、そのときに生じる軸応力（ただし、せん断弾性係数は81.4GPaとする）を求める問題です。

1. 問題の内容

直径40mm、回転数500rpmの軸において、比ねじれ角0.25°/mを許容する場合に伝達可能な動力（kW）と、そのときに生じる軸応力（ただし、せん断弾性係数は81.4GPaとする）を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 比ねじれ角をrad/m単位に変換する

問題文に「比ねじれ角の単位は、rad/mmである」と記載されていますが、これは誤りです。与えられた比ねじれ角 $\theta/l$ は度/mの単位なので、rad/mに変換する必要があります。

$\theta/l = 0.25 \times \pi / 180 \approx 0.004363 \text{ rad/m}$

(2) 許容トルクを計算する

問題文に与えられた式 $d = \sqrt[4]{\frac{32T}{\pi G \theta / l}} = 1.7864 \sqrt[4]{\frac{T}{G(\theta/l)}}$ を用いて、許容できるトルク $T$ を計算します。

この式を変形すると、

$T = \frac{\pi G (\theta/l) d^4}{32}$

数値を代入します。

$G = 81.4 \times 10^9 \text{ Pa} = 81.4 \times 10^3 \text{ MPa}$

$d = 40 \text{ mm} = 0.04 \text{ m}$

$\theta/l \approx 0.004363 \text{ rad/m}$

$T = \frac{\pi \times 81.4 \times 10^9 \times 0.004363 \times (0.04)^4}{32} \approx 923.6 \text{ Nm} = 923.6 \times 10^3 \text{ Nmm}$

(3) 伝達可能な動力を計算する

動力 $L$ は以下の式で計算できます。

$L = \frac{2 \pi n T}{60}$

数値を代入して、

$L = \frac{2 \pi \times 500 \times 923.6}{60} \approx 48428 \text{ W} \approx 48.4 \text{ kW}$

(4) 軸応力を計算する

軸応力 $\tau$ は以下の式で計算できます。

$\tau = \frac{T r}{I_p}$

ここで、$r = d/2 = 20 \text{ mm}$ であり、$I_p = \frac{\pi d^4}{32} = \frac{\pi (40)^4}{32} = 251327.41 \text{ mm}^4$ です。

したがって、軸応力は

$\tau = \frac{923.6 \times 10^3 \times 20}{251327.41} = 73.58 \text{ MPa}$

3. 最終的な答え

伝達できる動力: 48.4 kW

軸応力: 73.6 MPa